Niveau terminale

nombre complexe

Posté par
Hoffnung 07-10-20 à 23:14

Salut,
j'ai besoin d'aide sur la question 5.
Le nombre complexe $j$ noté également est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginare est strictement positive.
$j= -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$
1) Resoudre dans l'équation $z^3 = 1$ et deduire $j$
2)  a- Montrer que: $1 + j + j^2 = 0$
b- Montrer que pour tout $n \in \N : j^{3n} = 1,  j^{3n+1} = j,  j^{3n+2} = j^2 = \bar{j}$
3) Montrer que les points M, N et P d'affixes respectifs $1,j$ et $j^2$ sont les sommets d'un triangle équilatéral.
4) Montrer que $j$ et $\bar{j}$ sont solutions de l'équation $z^2 + z +1 = 0   ( z \in \C )$ et en déduire que: $z^2 + z + 1 = (z - j)(z - \bar{j})$
5) Montrer que si les complexes a,b et c vérifient l'équation $a + bj + cj^2 = 0$ alors les points A, B et C d'affixes respectifs a,b et c sont les sommets d'un triangle équilatéral.

Posté par re : nombre complexe 08-10-20 à 00:04

Bonsoir,

de 1+j+j² = 0 tu déduis j² = -1-j
a+bj+cj² = 0 peut encore s'écrire :
a+bj+c(-1-j) = 0
(a-c)+j(b-c) = 0
(a-c) = j(c-b)
Tu en déduis |a-c| = |c-b| car |j| = 1
Donc AC = CB
de plus, a-c est déduit de c-b par une rotation d'argument Arg(j) = 2/3
Cela devrait te permettre de conclure.

Posté par re : nombre complexe 08-10-20 à 00:16

Oui, merci.

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