Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

nombre complexe

Posté par
animatrice20 19-10-20 à 22:10

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant:

On veut résoudre dans l'équation suivante:
(E):z^4-(1+\sqrt{3})z^3+(2+\sqrt{3})z^2-(1+\sqrt{3})z+1=0

Soit P le polynome à coefficient réels défini sur par P(z)=z^4-(1+\sqrt{3})z^3+(2+\sqrt{3})z^2-(1+\sqrt{3})z+1

1)a) Montrer que 0 n'est pas une racine du polynome P.
b) Pour z0, on pose u=z+\frac{1}{z}.
Calculer \frac{P(z)}{z^2} pour z0 et l'exprimer en fonction de u.
2)a)Résoudre dans l'équation suivante: (E_1): u^2-(1+\sqrt{3})u+\sqrt{3}=0
b) Résoudre dans les équations (E_2):z+\frac{1}{z}=1 et (E_3):z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}
3) En déduire les solutions dans de l'équation (E).
On les écrira sous forme algébrique.

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:14

Bonsoir,

qu'as-tu fait?

où bloques-tu?

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 22:23

1)a) P(0)= 1 donc 0 n'est pas une racine de P(z).
b) \frac{P(z}{z^2}=\frac{z^4-(1+\sqrt{3})z^3+(2+\sqrt{3})z^2-(1+\sqrt{3})z+1}{z^2}=z^2-(1+\sqrt{3})z+(2+\sqrt{3})-\frac{(1+\sqrt{3})}{z}+1

mais après ça je suis bloqué

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:25

b) est faux revois ton calcul

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:32

remarque : au lieu de frac dans tes quotients utilise plutôt dfrac ce sera plus lisible

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 22:33

c'est plutôt cela \frac{P(z)}{z^2}=z^2-(1+\sqrt{3})z+(2+\sqrt{3})-\frac{(1+\sqrt{3})}{z}+\frac{1}{z^2} ??

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:34

tu en doute !

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 22:37

Cela me parait plus cohérent donc je pense que c'est ça mais à vous de me dire

Pour exprimer en fonction de u je ne vois vraiment pas

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:45

oui c'est juste

maintenant tu remplaces z+\dfrac{1}{z} par u

et  z^2+\dfrac{1}{z^2} par une expression qui dépend de u

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 22:49

C'est = u^2-(1+\sqrt{3})u+(2+\sqrt{3}) ?

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 22:54

presque!

combien as-tu trouvé pour z^2+\dfrac{1}{z^2}?

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 22:59

comme u=z+\frac{1}{z} alors u^2=z^2+\frac{1^2}{z^2} = z^2+\frac{1}{z^2}

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 23:00

drôle de façon de calculer (a+b)^2

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 19-10-20 à 23:05

je ne comprends pas  

Posté par
Pirhore : nombre complexe 19-10-20 à 23:12

(a+b)^2 : identité remarquable non?

d'où (z+\dfrac{1}{z})^2=?

Posté par
Zacrore : nombre complexe 20-10-20 à 05:00

  

nombre complexe

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 09:11

Bonjour Zacro

je crois que tu as raison!

en tout cas, malgré ton grand âge tu as encore une bonne vue

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 20-10-20 à 21:15

\frac{P(z)}{z^2}= u^2-(1+\sqrt{3})u où u^2=(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+2*(2+\sqrt{3})*\frac{1}{z^2}

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 21:39

es-tu emilie943?

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 20-10-20 à 21:50

Non du tout

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 21:59

Ok, je te laisse le bénéfice du doute

je ne comprends pas ce que tu as écrit à 21 h:15

tu remplaces z^2+\dfrac{1}{z^2} par quoi dans \dfrac{P(z)}{z^2}?

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 20-10-20 à 22:06

par cela u^2= z^2+2*(2+\sqrt{3})*\frac{1}{z^2}

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 22:21

animatrice20 @ 20-10-2020 à 22:06

par cela u^2= z^2+2*(2+\sqrt{3})*\frac{1}{z^2}
  

il faut partir de \left (z+\dfrac{1}{z}\right)^2=u^2 pour en tirer z^2+\dfrac{1}{z^2}

développe la parenthèse (identité remarquable)

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 20-10-20 à 22:30

ah je crois avoir compris donc en fonction de u cela donne u^2-(1+\sqrt{3})u +\sqrt{3} car (z+\frac{1}{z})^2= z^2 +2+\frac{1}{z^2}

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 22:31

ouf on y est!

Posté par
Pirhore : nombre complexe 20-10-20 à 22:32

tu peux écrire la  suite de tes cogitations car je dois quitter, sorry!

je les lirai demain si personne n'a pris le relais

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 20-10-20 à 22:58

Pour 2a j'obtiens deux racines: u_1=\sqrt{3} et u_2=1


Pour b:
(E2) a pour solutions z_1=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} et z_2=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}

( E3) a pour solutions z_1=\frac{\sqrt{3}+i}{2} et z_2=\frac{\sqrt{3}-i}{2}

Posté par
Pirhore : nombre complexe 21-10-20 à 06:15

c'est juste

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 21-10-20 à 10:58

super !
Pour la 3, les solutions de (E) sont les solutions de (E1), (E2) et (E3) ?

Posté par
Pirhore : nombre complexe 21-10-20 à 11:09

oui

Posté par
animatrice20re : nombre complexe 21-10-20 à 11:16

merci beaucoup pour votre aide !!

Posté par
Pirhore : nombre complexe 21-10-20 à 11:21

de rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !