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Nombre complexe

Posté par
Nabla2363
30-10-20 à 15:16

Je bloque dès le début de cet exercice sur les polynôme :

On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z) =z^4-8z^3+41z^2-128z+400.

1)Montrer que si Z est une racine du polynôme P, alors son conjugué z barre en est aussi une.
2) a. Soit b un reel.Déterminer P(ib) en fonction de b puis l'écrire sous forme algébrique.
b. Montrer que le polynôme P admet exactement deux racines imaginaires pures dans C et les calculer.
3)Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z) =(z^2+16)(az^2+bz+c)
4) Résoudre dans C l'équation P(z) =0

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:26

salut si z est solution alors P(z)=0
si tu prends le conjugué de chaque coté
conjugué de P(z) = conjugué de 0
donc conjugué de (P(z)) =0 maintenant calcule ,avec les règles sur les conjugués,   le conjugué de (P(z))
si tu trouves que c'est P(conjugué de z) alors c'est gagné

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:29

Bonjour, je vois vraiment pas où vous voulez en venir, je suis pas sûr d'avoir compris ce qu'il faut faire :/

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:30

si tu montres que P(zbar)=0 ça veut bien dire que zbar est racine du polynome ?

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:32

Ah oui d'accord, j'ai compris ce que vous voulez dire, mais dans ce cas comment trouver la racine sachant qu'il n'y a pas de formule pour le 4 ème degré ?

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:40

en faisant ce que je t'ai dit au 1er message
tu calcules le conjugué de tout le polynome si tu arrives à P(zbar) comme c'est =0 ça montrera que zbar est racine

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:45

Ducoup ça fait
P(zbar) =(zbar)^4-8(zbar)^3+41(zbar)^2-128(zbar)+400=0
Mais faut il remplacer z par a+ib et les zbar par a-ib ?

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:47

non tu fais à l'envers tu dois calculer le conjugué de tout P(z) et à la fin trouver =P(zbar)

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:49

En remplaçant z par a +ib ? ( désolé je suis pas fort en math mais j'essaye d'y arriver)

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:55

non (comme je te l'ai déjà dit ) en utilisant les régles sur les conjugués
que vaut conjugué de (z+z') ?

Posté par
kenavo27
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:56

Bonjour
Bein essaie

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 15:58

Bonjour, je suis entrain d'essayer.

Posté par
kenavo27
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:03

Salut ciocciu
J'ai encouragé Nabla2363 à essayer. Pour qu'il puisse en tirer une conclusion

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:04

ok kenavo ...mais il va essayer quoi de remplacer par a+ib .... bon courage

Posté par
kenavo27
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:06

Je sais ciocciu

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:26

J'ai réussi la 1ere question

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:27

cool
et la 2eme?

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:29

Je suis entrain de chercher, mais elle m'a l'air assez compliqué xD

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:29

Il faut juste remplacer z par (ib)?

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:31

oui ça me parait une bonne idée  et ensuite tu regroupes sous forme algébrique X+iY  avec X et Y qui dépendront de b

Posté par
Nabla2363
re : Nombre complexe 30-10-20 à 16:32

D'accord merci

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 17-12-20 à 22:38

Bonjour, avez-vous la correction de cet exercice ? J'ai le même à faire en dm cela me sauverais

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 17-12-20 à 22:39

Sinon pouvez vous m'expliquer comment faire pour la question 2) a et 2) b je ne comprends pas merci

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 17-12-20 à 23:30

Pour la 2.a :

On a :

P\left(ib\right)=\left(ib\right)^4-8\left(ib\right)^3+41\left(ib\right)^2-128\left(ib\right)+400

Après développement, on obtient :

P\left(ib\right)=b^4-41b^2+400+i\cdot b\left(8b^2-128\right)


Changement de variable y=x^2:

P\left(ib\right)=y^2-41y+400+i\cdot b\left(8b^2-128\right)

Je te laisse factoriser et rechanger de variable en b pour répondre à tes deux questions ^^.

Bonne résolution

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 17-12-20 à 23:40

Merci pour votre réponse ! Mais je ne comprends pas pourquoi il faut changer de variable ? Comment fait-on pour changer de variable en b ? Je ne comprends pas trop

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 17-12-20 à 23:45

Je ne voulais pas te confondre, je fais ce changement de variable pour que tu factorises plus facilement avec le facteur nabla que tu as appris il y a bien longtemps pour les polynômes du second degré! En fait, ce changement ne va servir qu'à factoriser, après tu vas réecrire le tout en fonction de b et tu vas trouver que tu vas encore pouvoir factoriser avec la partie imaginaire et tu pourras enfin répondre à la question de l'exercice!

Est-ce plus clair?

Je suis 100% disponible ^^

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 17-12-20 à 23:57

y^2-41y+400+i×b(8b^2-128)
Est ce que cela donne:
y(y-41)+400 mais le i*b(8b^2-128) je peux pas le factoriser encore si ?

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 18-12-20 à 00:05

Est ce que ce serait possible d'avoir la réponse du 2) a et comme ça j'essaye de trouver le raisonnement seule, c'est pour être sûr que ma réponse est juste s'il vous plaît ?

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 18-12-20 à 00:08

Hahahahaha, non on ne factorise pas comme ça haha, désolé, tu viens de me faire rire
On a deux manières de factoriser, utilisons celle qui est systématique :

Que vaut nabla ? Il vaut b^2-4\cdot a\cdot c! Donc cela donne :

y=\frac{-b\pm \sqrt{\Lambda }}{2\cdot a}=\left\{16\ ;\ 25\right\}

Donc :

y^2-41y+400=\left(y-25\right)\left(y-16\right)

Tu remplaces les y avec les b, il te reste une autre factorisation et c'est presque fini!

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 18-12-20 à 00:09

Ici, je pense que ce n'est pas nabla, on parle de déterminant et c'est delta, désolé. Ça ne change pas la méthodologie

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 18-12-20 à 07:59

D'accord j'ai compris merci beaucoup.
Et cela veut dire que pour la question 2) b je calcule les racines à partir de la réponse du 2) a ?

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 18-12-20 à 08:53

Juste est ce que b=y ?
Ou b a une autre valeur ?
Cela donne (b-25)(b-16) +ib(8b^2-128) ?

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 18-12-20 à 19:59

Tu as presque fini de factoriser!

8b^2+128=\frac{1}{8}\left(b^2+16\right)

Vois-tu la prochaine factorisation?

Ça ce sera pour la 2.a, pour la 2.b, on cherche les racine de P(b)! Donc, il faut réécrire la factorisation en écrivant ib=b^*. Car la factorisation en a est en P(ib). Tu vas voir que ce n'est pas compliqué, par exemple :

b^2=\frac{(i\cdot b)^2}{i^2}=\frac{b^*}{-1}

Avec tout ça, la suite ne devrait pas être compliqué

Tiens nous au courant ^^

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 18-12-20 à 23:06

Merci beaucoup ! C'est bon j'ai tout compris
Dernière petite question dans la question 1 il faut utiliser quelle propriété du conjugué ?

Posté par
HelperEddy
re : Nombre complexe 19-12-20 à 01:42

Il faudra utiliser cette propriété

\overline{z^{\mathrm{n}}}=(\bar{z})^{\mathrm{n}}

Posté par
will99999will
re : Nombre complexe 19-12-20 à 13:24

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
remydfs
re : Nombre complexe 22-01-21 à 14:43

Bonjour, je dois faire cet exercice mais meme apres avoir lu le topic je ne comprend toujours pas la premiere question! si quelqu'un peut m'aider

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 22-01-21 à 17:52

salut
si z est solution alors P(z)=0 donc z^4-8z^3+41z^2-128z+400=0
dans une équation complexe tu peux prendre le conjugué de chaque coté et l'équation reste vraie
donc
\overline{z^4-8z^3+41z^2-128z+400}=\overline{0}
ensuite tu utilises les propriétés des conjugués
que vaut le membre de gauche ? et celui de droite le conjugué de 0 ?

Posté par
theodorr
re : Nombre complexe 23-01-21 à 11:19

Salut moi aussi mon prof m'as donné cet exo a faire mais je n'arrive pas simplifier le membre de gauche. Peux tu me rappeler les propriétés des conjugués stp
Et (0)bar ca fait 0

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe 23-01-21 à 11:22

salut

theodorr @ 23-01-2021 à 11:19

je n'arrive pas simplifier le membre de gauche. Peux tu me rappeler les propriétés des conjugués stp
et à quoi sert le cours (qui contient ce que tu es censé connaitre !!) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombre complexe 23-01-21 à 11:30

Bonjour à tous
> remydfs / theodorr
euh...j'ai ben aimé le moi aussi...
changer de pseudo ne change rien à l'affaire...

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe 23-01-21 à 18:28

theodorr @ 23-01-2021 à 11:19

Salut moi aussi mon prof m'as donné cet exo a faire mais je n'arrive pas simplifier le membre de gauche. Peux tu me rappeler les propriétés des conjugués stp
Et (0)bar ca fait 0

On aurait été en 1992 je t'aurais probablement donné les propriétés sur les conjugués..mais bon là il faut pas pousser tu tape sur ecosia (ou Google qui a le même algorithme de recherche ) conjugué nombre complexe et tu auras 453 sites qui te donneront le cours que tu n'as pas



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