Je bloque dès le début de cet exercice sur les polynôme :
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z) =z^4-8z^3+41z^2-128z+400.
1)Montrer que si Z est une racine du polynôme P, alors son conjugué z barre en est aussi une.
2) a. Soit b un reel.Déterminer P(ib) en fonction de b puis l'écrire sous forme algébrique.
b. Montrer que le polynôme P admet exactement deux racines imaginaires pures dans C et les calculer.
3)Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z) =(z^2+16)(az^2+bz+c)
4) Résoudre dans C l'équation P(z) =0
salut si z est solution alors P(z)=0
si tu prends le conjugué de chaque coté
conjugué de P(z) = conjugué de 0
donc conjugué de (P(z)) =0 maintenant calcule ,avec les règles sur les conjugués, le conjugué de (P(z))
si tu trouves que c'est P(conjugué de z) alors c'est gagné
Bonjour, je vois vraiment pas où vous voulez en venir, je suis pas sûr d'avoir compris ce qu'il faut faire :/
Ah oui d'accord, j'ai compris ce que vous voulez dire, mais dans ce cas comment trouver la racine sachant qu'il n'y a pas de formule pour le 4 ème degré ?
en faisant ce que je t'ai dit au 1er message
tu calcules le conjugué de tout le polynome si tu arrives à P(zbar) comme c'est =0 ça montrera que zbar est racine
Ducoup ça fait
P(zbar) =(zbar)^4-8(zbar)^3+41(zbar)^2-128(zbar)+400=0
Mais faut il remplacer z par a+ib et les zbar par a-ib ?
non (comme je te l'ai déjà dit ) en utilisant les régles sur les conjugués
que vaut conjugué de (z+z') ?
oui ça me parait une bonne idée et ensuite tu regroupes sous forme algébrique X+iY avec X et Y qui dépendront de b
Pour la 2.a :
On a :
Après développement, on obtient :
Changement de variable :
Je te laisse factoriser et rechanger de variable en b pour répondre à tes deux questions ^^.
Bonne résolution
Merci pour votre réponse ! Mais je ne comprends pas pourquoi il faut changer de variable ? Comment fait-on pour changer de variable en b ? Je ne comprends pas trop
Je ne voulais pas te confondre, je fais ce changement de variable pour que tu factorises plus facilement avec le facteur nabla que tu as appris il y a bien longtemps pour les polynômes du second degré! En fait, ce changement ne va servir qu'à factoriser, après tu vas réecrire le tout en fonction de b et tu vas trouver que tu vas encore pouvoir factoriser avec la partie imaginaire et tu pourras enfin répondre à la question de l'exercice!
Est-ce plus clair?
Je suis 100% disponible ^^
y^2-41y+400+i×b(8b^2-128)
Est ce que cela donne:
y(y-41)+400 mais le i*b(8b^2-128) je peux pas le factoriser encore si ?
Est ce que ce serait possible d'avoir la réponse du 2) a et comme ça j'essaye de trouver le raisonnement seule, c'est pour être sûr que ma réponse est juste s'il vous plaît ?
Hahahahaha, non on ne factorise pas comme ça haha, désolé, tu viens de me faire rire
On a deux manières de factoriser, utilisons celle qui est systématique :
Que vaut nabla ? Il vaut ! Donc cela donne :
Donc :
Tu remplaces les y avec les b, il te reste une autre factorisation et c'est presque fini!
Ici, je pense que ce n'est pas nabla, on parle de déterminant et c'est delta, désolé. Ça ne change pas la méthodologie
D'accord j'ai compris merci beaucoup.
Et cela veut dire que pour la question 2) b je calcule les racines à partir de la réponse du 2) a ?
Tu as presque fini de factoriser!
Vois-tu la prochaine factorisation?
Ça ce sera pour la 2.a, pour la 2.b, on cherche les racine de P(b)! Donc, il faut réécrire la factorisation en écrivant . Car la factorisation en a est en P(ib). Tu vas voir que ce n'est pas compliqué, par exemple :
Avec tout ça, la suite ne devrait pas être compliqué
Tiens nous au courant ^^
Merci beaucoup ! C'est bon j'ai tout compris
Dernière petite question dans la question 1 il faut utiliser quelle propriété du conjugué ?
Bonjour, je dois faire cet exercice mais meme apres avoir lu le topic je ne comprend toujours pas la premiere question! si quelqu'un peut m'aider
salut
si z est solution alors P(z)=0 donc z^4-8z^3+41z^2-128z+400=0
dans une équation complexe tu peux prendre le conjugué de chaque coté et l'équation reste vraie
donc
ensuite tu utilises les propriétés des conjugués
que vaut le membre de gauche ? et celui de droite le conjugué de 0 ?
Salut moi aussi mon prof m'as donné cet exo a faire mais je n'arrive pas simplifier le membre de gauche. Peux tu me rappeler les propriétés des conjugués stp
Et (0)bar ca fait 0
salut
Bonjour à tous
> remydfs / theodorr
euh...j'ai ben aimé le moi aussi...
changer de pseudo ne change rien à l'affaire...
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