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Nombre Complexe

Posté par
Mathes1 16-02-21 à 19:48

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1/ soit ZC* . Simplifier l'expression suivante
\bar{\left(\dfrac{zi+1}{z} \right)}-\dfrac{\bar{1-z}}{\bar{z}}
Je vous propose
<=> \dfrac{-i(x-iy)+1}{(x-iy)}-\dfrac{1-(x-iy)}{x-iy}
Est ce que c'est juste ?
2/ résoudre dans l'équation suivante
(E): \bar{z}=(1-i)z+3+2i
Est ce que \bar{z}=x-iy
Et ensuite en replace z bar et en calcule normalement
3/ pour tout z, on pose f(z)=(z-2)(\bar{z}+i). Soit M(z) un point du plan complexe .
Déterminer les ensembles suivants :
E={M(z) /f(z) }
Et F={M(z)/f(z)i}
Je ne comprends pas la question une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Nombre Complexe 16-02-21 à 19:54

salut

simplifier n'est pas passer à la forme algébrique mais manipuler les propriétés de la conjugaison !!

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 20:02

D'accord
Donc 1/
\bar{\left(\dfrac{zi+1}{z} \right)}-\dfrac{\bar{1-z}}{\bar{z}}
•(\bar{iz+1}):
Avec z=x+iy
\bar{i(x+iy)+1}=\bar{ix-y+1}=-ix-y+1
•\bar{z}=x-iy
•\\bar{1-z}=\bar{1-x-iy}=1-x+iy
S'il vous plaît est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Nombre Complexe 16-02-21 à 20:07

non !!

carpediem @ 16-02-2021 à 19:54

salut

simplifier n'est pas passer à la forme algébrique mais manipuler les propriétés de la conjugaison !!
n'as-tu pas appris quel est le conjugué d'une somme ? d'un produit ? d'un quotient ?

ouvre ton cours ou ton livre ...

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 20:21

Bonjour
D'accord :

Citation :
\bar{\left(\dfrac{zi+1}{z} \right)}-\dfrac{\bar{1-z}}{\bar{z}}
•(\bar{iz+1}):
\bar{i(z)+1}=\bar{i}\bar{z}+\bar{1}= \\ -i\bar{z}+1
•\\bar{1-z}=\bar{1}-\bar{z}=1-\bar{z}
S'il vous plaît est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 16-02-21 à 21:52

Bonsoir,

en attendant le retour de carpediem

ça a l'air bon si c'est complété mais comme tu manipules Latex écris plutôt tout sous forme de fraction

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:04

Bonjour
D'accord merci beaucoup
1/
=> \dfrac{\bar i \bar z +\bar1 }{\bar z } -\dfrac{\bar 1 - \bar z}{\bar z}=\dfrac{-i\bar z +1-1+\bar z}{\bar z}=1-i
2/ j'ai trouvé :
Z=-4-3i comme solution de l'équation (E)
3/ je ne comprends pas la question , une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:11

bonsoir

là il vaut mieux revenir à la forme algébrique.

si z=x+iy avec x et y réels

mets f(z) sous forme algébrique

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:12

et déduis-en pour quelles valeurs de z on obtient un réel ou un imaginaire pur

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:12

et donc les équations des ensembles de points E et F

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:19

3/ f(z)=( x+iy-2)(x-iy+i)
=x2+y2-y-2x+(x+2y-2)i
Re(f(z))==x2+y2-y-2x
Im (f(z))=(x+2y-2)

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:23

exact

donc M(x;y)E ???

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:28

D'accord
donc M(x;y)E <=> Re(f(z))=Im (f(z))

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:32

certainement pas !

relis l'énoncé...

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:35

M(z) E f(z)  est réel

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:38

M(z) E f(z)  est réel
<=> f(z)=x2+y2-y-2x

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:40

il faut apprendre ton cours !

à quelle condition un nombre complexe est-il réel ?

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:40

qu'est devenue la partie imaginaire de f(z) ?

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:43

à quelle condition un nombre complexe est-il réel ?
=> Si la partie imaginaire est nulle

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:45

Bonsoir
Je suis perdue

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:45

bon ben alors !

M(z) E Im(f(z))=0

M(x;y) E ....

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:45

Mathes1 @ 16-02-2021 à 22:19


Re(f(z))==x2+y2-y-2x
Im (f(z))=(x+2y-2)

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:46

arrête de te compliquer la vie et utilise tes résultats !

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:47

(bon, je crois que là il vaut mieux aller se reposer car tu n'es plus sur le coup... )

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:49

M(z) E Im(f(z))=0

M(x;y) E (x+2y-2)=0

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:49

ouiiii !

et donc E est ...?

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:52

E est la droite d'équation y=-1/2 x +1
Pour F c'est le réel qui est nulle

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:53

(bon, je vais me coucher... quelqu'un prendra la relève quand tu nous auras donné tes réponses)

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:53

oui pour E

et donc l'équation de F c'est ?

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:55

L'équation de f c'est la droite
x2+y2-y-2x=0

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:56

Pardon l'ensemble F est un cercle

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:57

la droite ...????

elle a une drôle de tête ton équation de droite

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 22:57

ah je préfère

centre ? rayon ?

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 23:01

Centre A(1;1/2) rayon r=5/4

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 23:03

ça c'est le carré du rayon...

sinon c'est bon

pour tracer tu remarqueras que  O  est dans F

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 16-02-21 à 23:06

D'accord je vous remercie énormément
Bonne nuit
r2=5/4

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 16-02-21 à 23:07

pas de quoi

bonne nuit

Posté par
carpediemre : Nombre Complexe 17-02-21 à 13:04

je note z* le conjugué de z

on peut tout faire sans la forme algébrique :

z^* = (1 - i)z + 3 + 2i \iff z = (1 + i)z^* + 3 - 2i

donc par somme: 0 = i(z^* - z) + 6 \iff -2Im  z = 6 \iff Im  z = -3

et par soustraction : 2(z - z^*) = i (z + z^*) - 4i\iff 4 Im  z = 2 Re  z - 4 \iff Re z = -4

et on vérifie que le complexe -4 - 3i est solution


f(x) = (z - 2) ( \bar z + i)

f(z) \in \R \iff f(z) = \bar{f(z)} \iff (z - 2)(z^* + i) = (z^* - 2)(z - i) \iff iz - 2z^* - 2i = -iz^* - 2z + 2i \iff i(z + z^*) + 2(z - z^*) - 4i = 0 \\ \\ \iff 2Re  z + 4 im  z - 4 = 0 \iff x + 2y - 2 = 0

et il est inutile de transformer cette égalité en y = -x/2 + 1


f(x) \in i \R \iff \bar {f(z)} = - f(z) \iff ...

je te laisse finir si tu veux t'entrainer ...

Posté par
matheuxmatoure : Nombre Complexe 17-02-21 à 15:54

c'est sûr carpediem... mais par expérience, sur ce genre de question où les deux sont demandés, j'ai remarqué que les élèves y arrivent mieux sous forme algébrique.

cela dit, c'est bien aussi de leur montrer une deuxième méthode... suivant les cas, celle-ci est plus rapide.

et je n'avais pas eu le courage de la taper

Posté par
carpediemre : Nombre Complexe 17-02-21 à 17:27

oui j'ai voulu continuer dans la philosophie de la question 1/ et utiliser pleinement les complexes ...

je le vois aussi avec mes Tle exp : pour eux i est comme une inconnue et pour résoudre par exemple l'équation z(1 + i) + 5 = 2 - i beaucoup posent z = x + iy

pour eux i est une "inconnue" cat ils ne peuvent pas le "calculer" comme par exemple \sqrt 2 pour lequel la machine leur donne 1, 41...

il y a un gros pb avec l'écriture "exacte" des nombres ...


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