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Nombre complexe et forme exponentielle
Bonsoir à tous, dans un dm je bloque sur une question d'un exercice, j'espère pouvoir avoir de l'aide, voici l'énoncé :
Soit z = 1 + ei
ou appartient à [0;
[ 
];2]
Je dois démontrer que : z = 2cos(/2)ei/2
Puis ensuite je dois déterminer le module et un argument de z selon la valeur de .
Après plusieurs essais je bloque toujours et n'arrive jamais à cette expression !
Merci beaucoup pour vos aides...
hé bien tu pars du fait que :
1 = exp(0) = exp(iteta/2)*exp(-iteta/2)
ensuite tu factorises par exp(iteta/2) :
z = exp(iteta/2)*(exp(-iteta/2)+exp(iteta/2)
puis si tu sais que exp(i*a)+exp(-i*a) = 2cos(a) tu peux conclure...
Merci beaucoup ! j'étais parti en disant que ei = cos (/2+/2) + i sin(/2+/2) mais ça complique les calculs.
Cette méthode est en effet beaucoup plus simple.
Donc pour le module et l'argument de z, selon la valeur de je peux dire que z= 2cos(/2) * ( cos(/2)+isin(/2)) ?
Puisque ici ça ressemble a une forme trigonométrique avec |z| = 2cos(/2) et argument = ? ...
Je ne sais vraiment pas comment procéder ...
Je vous remercie beaucoup
le module de z est donc égal au produit des modules...
Mais un module est positif !
et cos(théta/2)... il est toujours positif ?
Donc module de z est égale a |2cos(/2)| * |ei(/2)| ?
Et cos(/2) est toujours positif sauf pour = 2 car cela équivaut à cos donc -1 et pour = mais n'apparetient pas à l'ensemble de définition ..
tu as vu l'énoncé ?
dans quel ensemble varie théta ?
et théta / 2 ?
tu trouves que son cosinus est toujours positif toi ?
remarque : |exp(i*théta/2))| = 1...
eh oh ! ce n'est pas un jeu de hasard !
0
< ou <2
tu ne sais pas diviser des inégalités par 2 ?
/2 
...?...
Oops, pour compris entre ]/2;] le cosinus et négatif , et pour compris entre [0;/2[ le cosinus est positif
Oui pardon, mais ca change rien puisque /2 est défini sur [0;pi/2[ U ]pi/2;pi] donc /2 est a un cosinus négatif entre ]pi/2;pi]
Je trouve donc pour 0</2 => 0/2</2 => cos0
cos/2>cos/2 donc cos/2 >0
alors dans ce cas |z|=cos/2 donc arg(z) = /2 [2]
Et pour l'autre cas <2 => /2</2 => cos/2<0
Donc |z| = -cos/2 puisque le module doit étre > 0
Et arg(z) = + /2 [2]
Est-ce que c'est enfin bon maintenant ? :s
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