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nombre complexe et losange
bonjour je suis bloquer a cette exercice et j'aimerai une aide merci d'aavnce.
z0=-1 z1=1/2 z2=-1/4+iracine de 3/4 z3= -1/4-iracine de 3/4
A0 A1 A2 A3 sont les images respectives de z0 z1 z2 z3 dans un repere orthonormal o u v .
mettre z2 et z3 sous la forme trigonometriqueet placer les point A0 A1 A2 A3 dans le repere et emontrer que A0A1A2A3 est un losange .
montrer que le module z2/z3 est egal a 1 et trouver un argument de z2/z3.interpret geomatriquement ces resultats.
j'ai mi z2 et z3 sous forme trigonometrique et je trouve que:
module de z2=1/2 arg de z2=2pi/3
module de z3=1/2 arg de z3=-2pi3
je fais ensuite la figure mais je n'arrive pas a demontrer que c'est un losange
pour l'argument de z2/z3 je trouve 4pi/3 mais je ne sais pas l'interpreter geometriquement .
merci pour votre aide.
Bonjour
A0 A1 A2 A3 sont les images respectives de z0 z1 z2 z3
les images par quoi ?? 1 rotation,similitude, homothétie .... ???
A+
ce n'est aps preciser mais je vous donne l'enoncé complet :
le plan complexe est raporté a un repere orthonormal (O u v )
1.montrer que tout nombre complexe z verifie la relation :
8z^4+8z^3-z-1=(z+1)(2z-1)(4z²+2z+1)
en utilisant ce resultat resoudre dans C l'equation 8z^4+8z^3-z-1=0
on designe par :
z0 la solution reelle negative
z1 la solution reelle positive
z2 la solution de partie imaginaire positive
z3 la solution de partie imaginaire negative
z0=-1 z1=1/2 z2=-1/4+iracine de 3/4 z3= -1/4-iracine de 3/4
A0 A1 A2 A3 sont les images respectives de z0 z1 z2 z3 dans un repere orthonormal o u v .
mettre z2 et z3 sous la forme trigonometriqueet placer les point A0 A1 A2 A3 dans le repere et emontrer que A0A1A2A3 est un losange .
montrer que le module z2/z3 est egal a 1 et trouver un argument de z2/z3.interpret geomatriquement ces resultats.
Bonjour
On dit que A0 est le point-image du complexe z0 ....
donc OK
z2 = -1/4 + i.rac(3)/2 = rac(13).(cos(106°10') + i.sin(106°10')/4 = rac(13).(cos(1,85rad + i.sin(1,85rad))/4
idem pour z3
*
|A1A2| = rac [(1/2+1/4)² + (3/4)] = rac [ 9/16 + 3/4] = rac(21)/4
|A0A2| = rac [(-1/4+1)² + 3/4] = ...= rac(21)/4
idem pour |A0A3| et |A1A3|
*
z2/z3 = [ -1/4+i.rac(3)/2] / [ -1/4 - i.rac(3)/2] = [ 1/4-i.rac(3)/2] / [ 1/4 + i.rac(3)/2] = on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur =
[ 1/4-i.rac(3)/2]² / [ 1/16 + 3/4] = ...= ( 1/16 - 3/4 -i.rac(3)/4) / (1/16 + 3/4) =
( -11/16 - i.rac(3)/4 ) / 13/16 = -11/13 - i.rac(3).4/13
son module² = 121/169 + 48/169 = 1
un argument = 180° + 28°03' = 208°03'
A+
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