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nombre complexe et suite

Posté par
u-turned 20-09-09 à 10:31

Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour un exercice sur les nombres complexes

On définit, pour tout entier n, la suite (Zn) de nombres complexes par
Z0 = 0
Zn+1 = λZn+i

1) Calcul de Zn en fonction de n et de λ
a)Vérifier les égalités : Z1 = i ; Z2 = (λ+1) ; Z3 = (λ²+λ+1)i
b) Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : Zn = (λpuissance(n) - 1)i/(λ-1)

en ce qui concerne la question a j'ai su y répondre sans grosses difficultés,
Z1 = λZ0 + i = i
Z2 = λZ1 + i = λi + i = i(λ + 1)
Z3 = λZ2 + i = λi(λ+1) + i = (λ²+λ+1)

La question b me met en difficulté. Je crois qu'il faut utiliser le raisonnement par récurrence mais je n'arrive pas à l'appliquer correctement.

Merci de votre aide.

Posté par
littleguyre : nombre complexe et suite 20-09-09 à 10:46

Bonjour

- l'initialisation a été traitée

- pour l'hérédité :

hypothèse de récurrence : Z_n=\frac{(\lambda ^n-1)i}{\lambda-1}

à démontrer : Z_{n+1}=\frac{(\lambda ^{n+1}-1)i}{\lambda-1}

or Z_{n+1}=\lambda Z_n+i

donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence, Z_{n+1}=\lambda \frac{(\lambda ^n-1)i}{\lambda-1}+i

D'où Z_{n+1}=\frac{\lambda(\lambda^n-1)i+(\lambda-1)i}{\lambda-1}

et tu dois être capable de finir.

Posté par
littleguyre : nombre complexe et suite 20-09-09 à 11:02

Pardon, l'initialisation n'a pas été faite :

Pour n = 0, \frac{(\lambda ^n-1)i}{\lambda -1}=0
or Z0 = 0

Donc la relation est vérifiée pour n = 0

Posté par
u-turnedles nombres complexes liés suites 24-09-09 à 08:09

Bonjour, j'ai du mal à répondre à une question liant nombre complexes et suites
pouvez vous m'aider

On définit la suite Zn de nombre complexes par
Z0= 0
Zn+1 = λZn + i

Zn = (λ (puissance n) - 1) / ( λ - 1)

Caractérisation de certaines suites (Zn)
a) On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que λ (puissance k) = 1
Démontrer que pour tout entier naturel Zn+k = Zn
b) Réciproquement montrer qu'il existe un entier naturel k tel que
pour tout entier naturel n on ait l'égalité Zn+k = Zn alors : λ (puissance k) = 1

Merci d'avance pour votre aide

*** message déplacé ***

édit Océane : pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic, merci

Posté par
Labore : les nombres complexes liés suites 24-09-09 à 09:21

bonjour,
≠1
tu aurais du continuer sur le topic précédent...
\rm Z_{n+k}=\frac{\lambda^{n+k}-1}{\lambda-1}=\frac{\lambda^n\time \lambda^k-1}{\lambda-1} \\ or \lambda^k=1 \\ Z_{n+k}=\frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}=Z_n

réciproquement
\rm si Z_{n+1}=Z_n alors Z_{n+1}-Z_n=0 \\ \frac{\lambda^{n+k}-1}{\lambda-1}-\frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}=\frac{\lambda^n(\lambda^k-1)}{\lambda-1}=0
\rm alors \lambda^k-1=1 et\lambda^k=1

*** message déplacé ***


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