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nombre complexe et transformations
Bonjour, est-ce que vous pourriez m'aider svp ?
Voici l'énoncé de l'exercice :
Dans le plan complexe rapporté d'un repère orthonormal direct (O,u,v), on considère les points A,B,C d'affixes respectives Za=2 , zb=1+i
3 , zc=1-i3
2) A tout point M d'affixe z tel que z
2, on associe le point M' d'affixe z' défini par z'=-4/(z-2)
a) Déterminer les points invariants
b) Déterminer et placer le point G' image du centre de gravité G du triagle ABC
c) Montrer que le cerle (
) de centre 0 de ranyon 2 privé du point A a pour image la droit D d'équation x=1
d) Est-ce que cette transformation du plan est une rotation ou une homothétie ou une translation ?
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J'ai un problème à la question d) , je voudrai savoir si pour déterminer le type de transformation, je dois utiliser les questions précédentes, à savoir les points invariants que j'ai trouvé sont les points B et B', et le cercle est bien la droite D. Ou est-ce que je dois utiliser l'équation z'=-4/(z-2) ? J'ai essayé de chercher avec cette équation, mais je n'arrive pas à trouver si c'est une homothétie ou une translation.
Merci de bien vouloir me répondre.
Bonjour
Tu as trouvé qu'il y a deux points fixes (je te crois sur parole). Une homothétie ou une rotation ont un seul point fixe et une translation n'en a aucun. Donc ta transformation n'est aucune de celles-là.
Tu peux aussi dire que les rotations, les translations et les homothéties sont des applications affines, ce qui n'est pas le cas de la tienne.
Pour les savants, c'est la composée d'une translation, d'une inversion (mais ça tu ne connais probablement pas) et d'une homothétie.
La question se ramène à :
Parmi les rotations, les homothéties et les translations
y'en a-t-il une qui sache transformer un cercle en une droite ?
...
donc, si j'ai bien compris, c'est ni une translation, ni une homothétie et ni une rotation ? Comment on pourrait le justifier ?
Est-ce que c'est suffisant de dire que "les rotations, les translations et les homothéties sont des applications affines, et ce n'est pas le cas ici" ? Est-ce qu'on doit la démontrer ?
tout dépend ce dont tu disposes.
on peut démontrer qu'il ne s'agit pas d'une similitude en montrant,
par contre exemple, que le rapport des distances n'est pas conservé.
On peut aussi dire que cette application n'est pas :
de la forme z' = az + b <=> similitude directe (translation, rotation, homothétie)
de la forme z' = azbar + b <=> similitude indirecte
On peut aussi dire :
si f(z) translation => un cercle est tranformé en cercle
et par contraposée : cercle est tranformé en droite => f(z) n'est pas translation.
etc...
...
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