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NoMbre Complexe , Module et équation

Posté par
maryu 07-02-14 à 18:35

Bonjour tous le monde j'éspere que vous allez bien , alors s'ils vous plait j'ai besoin de l'aide dans ce DM , et Merci d'avance , voila l'énoncé
soit (,)de ^2 et pour tt r de *+
Z1=[r,] et z2=[r,]
1_construit une équation de 2 degré admettant les deux nombres complexes z1 et z2 comme deux solutions
2_soit (E): z^2-2pz+q=0 tel que p et q deux nombres complexes non nul , montrer que l'équation (E)admet deux solutions ayant le même module si et seulement si p^2/q est un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0,1] (  0<p^2/q1 )

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:01

Posté par
pgeodre : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:20

1/

(z - z1) (z - z2) = 0

Posté par
fredchateauneufre : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:31

donc dans l'exemple de pgeod un polynome du 2nd degré admettant z1 et z2 pour raciness s'écrira:

(z-z1)(z-z2) = z2-(z1+z2)z+z1z2 = z2 - r(ei+ei)z + r2ei(+)

Posté par
Cherchellre : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:31

1. une équation est (z - z 1) (z - z 2) = 0 soit z 2 - (z 1 + z 2) z + z 1 z 2 = 0

2. si les solutions ont même module r alors 2 p = r (e i ) + e i ) et q = r 2 e i ( + )

2 p = re^{i\frac{\theta+\alpha}{2}}(e^{i\frac{\theta-\alpha}{2}} + e^{i\frac{-\theta+\alpha}{2})}

2 p = re^{i\frac{\theta+\alpha}{2}}(2cos(\frac{\theta-\alpha}{2}))}

p = re^{i\frac{\theta+\alpha}{2}}cos(\frac{\theta-\alpha}{2})}

p^2 = r^2e^{i\,(\theta+\alpha)}cos^2(\frac{\theta-\alpha}{2})}


\frac{p^2}{q} = cos^2(\frac{\theta-\alpha}{2})}
si cos^2(\frac{\theta-\alpha}{2})}= 0 alors \frac{\theta-\alpha}{2}}=\frac{\pi}{2}+k\pi donc - = + 2 k donc les deux solutions sont opposées et p est nul ce qui est exclu
donc \frac{p^2}{q} est un réel compris entre 0 et 1 (0 exclu)

Réciproquement si \frac{p^2}{q} est un réel k compris entre 0 et 1 (différent de 0), alors q=\frac{p^2}{k}
l'équation devient :
z 2 - 2 p z + p^2/k = 0
soit (z - p) 2 = (k-1)p^2/k
(k - 1)/k est un réel négatif donc
les solutions sont z_ 1=p+ip\sqrt{\frac{1-k}{k} et z_ 2=p-ip\sqrt{\frac{1-k}{k}
soit z_ 1=p(1+i\sqrt{\frac{1-k}{k}) et z_ 2=p(1-i\sqrt{\frac{1-k}{k})
les deux solutions ont le même module d'où l'équivalence

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:34

et pour le deuxieme question ?

Posté par
fredchateauneufre : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:38

ben cherchell t'a fait toute la démo du 2) !!

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 19:55

merci CHerchell

Posté par
carpediemre : NoMbre Complexe , Module et équation 07-02-14 à 21:17

salut

z^2 - 2pz + q = (z - a - ib)(z - u - iv) = z^2 - (a + u + ib + iv)z + (a + ib)(u + iv)

p = a + u + i(b + v)

q = au - bv + i(bu + av)


p2 = ...

p2/q = ...


|a + ib| = |u + iv| <==> ....

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 01:11

bonjour tt le monde j'ai trouvé un autre question  suivant le même truc mais à l'aide de l'argument , le voila :
(E): z^2-2pz+q=0 , montrez que (E) admet deux solutions ayant le même argument si et seulement si q/p^2 est un nombre réel de l'intervalle ]0,1]  
(pour les données sont les même du premier question)

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 14:16

Posté par
carpediemre : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 14:26

écris aeit et beit les racines et vérifie ....

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 14:38

oui oui je l'ai fait et j'obtiens : p^2=[(r+r')/2]^2.e^i2
                  et q=rr'e^i2

Posté par
carpediemre : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 15:03

ben alors que vaut p2/q ? ....

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 15:24

non cet fois ci l'énonce demande de le montrer pour que q/p^2 pas p^2/q

Posté par
carpediemre : NoMbre Complexe , Module et équation 09-02-14 à 16:27

ben alors calcule q/p2 ....

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 10-02-14 à 11:56

ce que j'obtiens ne me permet pas de passer a l'argument

Posté par
lafol Moderateurre : NoMbre Complexe , Module et équation 10-02-14 à 12:41

Bonjour
ce que tu obtiens est un réel positif, \dfrac{rr'}{\left(\dfrac{r+r'}{2}\right)^2}, qu'on peut écrire aussi \dfrac{4rr'}{(r+r')^2} si ce que tu as écrit à 14:38 est exact.
ça ne devrait pas poser trop de problèmes pour montrer qu'il est inférieur ou égal à 1 ? (avec les identités remarquables, ça revient à dire que (r-r')² est positif ou nul ...)

Posté par
lafol Moderateurre : NoMbre Complexe , Module et équation 10-02-14 à 12:50

réciproquement, si q/p² est un réel de ]0;1], z² - 2pz + q = (z - p)² + q - p² = (z - p)² - p²(1 - q/p²)

1 - q/p² est un réel positif par hypothèse, on a donc deux racines : p\pm p\sqrt{1-\dfrac{q}{p^2}} = p\left( 1 \pm \sqrt{1-\dfrac{q}{p^2}}\right)

ce qui est dans la parenthèse est toujours un réel positif, puisque q/p² est positif, donc ces deux racines ont le même argument : celui de p.

Posté par
maryure : NoMbre Complexe , Module et équation 12-02-14 à 14:49

ouii exactement ce que j'ai fait  merci en tout cas pour m'assurer


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