Bonjour,

J'écris zbarre par z^b, z_A=1 et z_B=-1

a) z_O=0 => z^b_O=0

d'où z'_O=0 càd f(O)=O

b) Les point M ont pour affixe z_M=eⁱ

d'où z'_M= e^-i(eⁱ-1)/(e^-i-1)

càd z'_M= (1-e^-i)/(e^-i-1)

soit z'_M= -1 = z_B

=> f(M)=B si z_M=eⁱ

c) Points invariants => z'=z

càd z = z^b(z-1)/(z^b-1)

soit z(z^b-1) = z^b(z-1)

soit encore z=z^b

Donc les points invariants  de P sont la droite des réels.

d) On a |z^b|=|z| et |z^b-1|=|z-1|

Alors |z'|= (|z^b|*|z-1|)/|z^b-1|

donc |z'|=|z|

Soit encore si z=aeⁱ avec a<>1

z'=ae^i'

càd M et M' appartiennent au même cercle de rayon a et de centre O

e) Soit z"= (z'+1)/(z-1)

On obtient que z"= (zz^b-1)/((zz^b)²-1)

Comme zz^b=a est un réel, z" est un réel qui vaut (a-1)/(a²-1)

f) En fait z"= (z_M'-z_B)/(z_M-z_A)

Donc en relation avec BM' et AM

A partir de maintenant, il faut que je revois des cours pour poursuivre mon aide, en espérant que ma mémoire ne m'a pas joué des tours et fait commettre des erreurs.

Bon courage et bon Noël

Joyeux Noël à tous.
Avant tout, Revelli a commis une erreur : f(O)=1.
Pour le b), c'est un bon début, mais cela ne démontre pas entièrement l'équivalence f(M)=B<=>MC. Seul MC=>f(M)=B est montré.
Pour cela, prendre l'énoncé :
f(M)=B<=>zb(z-1)/zb-1=-1 (z1)
<=>zbz-zb=-zb+1<=>zzb=1<=>|z|²=1<=>M est un point du cercle C.
Le point c), c'est OK.
Le point d), c'est OK.
Pour le point e), tenir compte que zzb=|z|².
Pour le point f), il faut en déduire que les deux droites sont orthogonales (on passe de à ' par la multiplication de e^i/2.
Idem  pour g).
Bon travail.

Re bonjour,

a) Je ne comprends pas pourquoi f(O)=A

e) On peut encore simplifier z"

z"=(zz^b-1)/(zz^b-1)(zz^b+1)

càd z"= 1/(zz^b+1)

attention , ce que j'ai écrit en absolu n'est pas faux mais relativement à la fin de la réponse d) , il est préférable pour garder la signification de a d'écrire que :

z"= 1/(a²+1)

C'est dur la nuit de Noël après un bon repas!

A+

Bonjour.
Joyeux Noël à tous.
Dans la précipitation du 25 décembre, j'ai envoyé des conclusions un peu trop hâtives à partir du point e).
Voici la rectification.
e) (z'+1)/(z-1)=[(zbar(z-1)/(zbar-1))+1]/(z-1)=[zbar(z-1)+(zbar-1)]/[(z-1)(zbar-1)]=(zbarz-zbar+zbar-1)/(zzbar-z-zbar+1)=(zzbar-1)/(zzbar-(z+zbar)+1)=(|z|²-1)/(|z|²-2Re(z)+1)
car zzbar=|z|² et z+zbar=2Re(z) (Re(z)=partie réelle de z)
On constate donc que l'expression cherchée est un réel.  Donnons plus de détails :
soit M d'affixe z_M=r(cosa+isina). Alors
|z|=r  Re(z)=rcosa  Im(z)=rsina
En remplaçant dans l'expression, il vient :
(r²-1)/[(r-cosa)²+sin²a]
Appelons T cette expression.
Le dénominateur est toujours positif excepté si z=1.
Quant au numérateur, une étude de signe donne
r²-1<0 si r<1
r²-1>0 si r>1
r²-1=0 si r=1
Ainsi, excepté les points situés sur le cercle C, si M est à l'intérieur de C, T<0
M est à l'extérieur de C, T>0
(M est sur C, T=0)

De plus, (z'+1)/(z-1) est l'utilisation de (M'-B)/(M-A) qui au niveau vectoriel désigne les droites BM' et AM.
Désignons alors par rho le module de z'+1 et par theta l'argument de z'+1, et rho' le module de z-1 et theta' l'argument de z-1.
Ainsi, mod(T)=rho/rho'  et arg(T)=theta-theta'
Mais T est un réel donc son argument est soit 0 soit pi.
Ainsi, si z est intérieur au cercle C, alors T<0 et arg(T)=pi.
si z est extérieur au cercle C, alors T>0 et arg(T)=0.
Dès lors l'angle formé par les deux droites AM et BM' est soit 0 soit pi, c.à.d. les droites sont parallèles!
f) On établit la même relation T'=(z'-z)/(z-1).
On trouve T'=(2Im(z)*i)/(zzbar-2Re(z)+1)qui est un imaginaire pur.
Ainsi, T'<0 si Im(z)<0, donc z au-dessous de l'axe réel
T'>0 si Im(z)>0, donc si z est au-dessus de l'axe réel.
(T'=0 si z est un réel)
Par le même raisonnement que ci-dessus (avec rho, theta pour z'-z, rho', theta' pour z-1), on a :
arg(T')=pi/2 si z est au-dessus de l'axe réel et arg(T')=-pi/2 si z est au-dessous de l'axe réel.
Dès lors les deux droites AM et MM' sont orthogonales.
Et voilà...

merci beaucoup pour votre aide. je vous souhaite un excellent Noel et une bonne fin de journée.
Et une Bonne Année a tout le monde