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nombre complexes et suites!

Posté par fantomet (invité) 28-03-05 à 13:41



bonjour,
cela fait un bon nombre d'heures que je suis sur cet exo type bac.

1)soit (Rn) n apartenant a N, la suite géométrique réelle de 1er terme Ro strictement positif et de raison 2/3. exprimer Rn en fonction de Ro et de n.


donc cette kestion j'ai réussie a la faire
Rn = Ro * (2/3)^n


2)Soit (teta n) n appartenant a N; la suite arithmétique réelle de 1er terme( teta o) appartenant a lintervalle [ 0 ; pi/2[ et de raison 2/3pi. exprimer (teta n) en fonction de (teta o) et de n


celle la aussi :
teta n = teta o + n 2/3pi


3)pour tout entier naturel n, on pose Zn = Rn ( cos teta n + isin teta n ).
sachant que Zo , Z1 , Z2 sont liés par la relation Z0*Z1*Z2 =8, déterminer le module et un argument de Z0 , Z1 et Z2.

mais cette question me pose vraiment des problemes.
j'ai analysé que si le produit etait egal a 8 alor tout ce qui etait en raport avec i etait egale a 0.
car z =a+bi et dans ce cas a =8 et b =0.
mais cela me donne quelque chose de bizarre ou je trouve que :
sin teta o = 0
ou sin (teta o + 2/3 pi )= 0
ou sin( teta o +4/3pi) = 0

comme teta o peu etre egal a 0 cela ne me facilite pas la tache.

si je pren teta O = pi/3
alor cela me donne R0 = -36 et c'est pas possible!
alor voila j'ai beaucoup de mal merci de maider.





Posté par
H_aldnoerre : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 15:21

slt

1) je suis d'accord on a : 3$R_n=R_0\times (\frac{2}{3})^n
2) je suis d'accord on a : 3$\alpha_n=\alpha_0+n\times(\frac{2\pi}{3})

3) on pose 3$Z_n = R_n(\cos(\alpha_n)+i.\sin(\alpha_n))

on sait que 3$Z_0\times Z_1\times Z_2=8

or  3$Z_0 = R_0(\cos(\alpha_0)+i.\sin(\alpha_0))=R_0\times e^{i.\alpha_0}
et 3$Z_1 = R_1(\cos(\alpha_1)+i.\sin(\alpha_1))=R_1\times e^{i.\alpha_1}
et 3$Z_2 = R_2(\cos(\alpha_2)+i.\sin(\alpha_2))=R_2\times e^{i.\alpha_2}

sachant que 3$R_n=R_0\times (\frac{2}{3})^n et que 3$\alpha_n=\alpha_0+n\times(\frac{2\pi}{3})

on a :
3$R_0=R_0\times (\frac{2}{3})^0=R_0 et 3$\alpha_0=\alpha_0+0\times(\frac{2\pi}{3})=\alpha_0
et
3$R_1=R_0\times (\frac{2}{3})^1=\frac{2}{3}.R_0 et 3$\alpha_1=\alpha_0+1\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}+\alpha_0
et
3$R_2=R_0\times (\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}.R_0 et 3$\alpha_2=\alpha_0+2\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{4\pi}{3}+\alpha_0

on a donc  
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=R_0\times(\frac{2}{3}.R_0)\times(\frac{4}{9}.R_0)\times e^{i.(\alpha_0+(\frac{2\pi}{3}+\alpha_0)+(\frac{4\pi}{3}+\alpha_0))}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times\frac{8}{27}\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}\times e^{i.(\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}\times e^{i.(2\pi))}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}

or on sait que 4$Z_0\times Z_1\times Z_2=8 on a donc
4$(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}=8
i.e.
4$(R_0)^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}=2^3\times e^{i.2\pi}

on a donc un systeme :
4$\.\array{rcl$R_0=2\\3\times\alpha_0=2\pi}\}
i.e.
4$\.\array{rcl$R_0=2\\\alpha_0=\frac{2\pi}{3}}\}

on a donc :
3$R_n=2\times (\frac{2}{3})^n et 3$\alpha_n=\frac{2\pi}{3}+n\times(\frac{2\pi}{3})


donc :
3$R_0=2\times (\frac{2}{3})^0=2 et 3$\alpha_0=\frac{2\pi}{3}+0\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{2\pi}{3} donc 3$Z_0=R_0\times e^{i.\alpha_0}=2\times e^{i.\frac{2\pi}{3}}
et
3$R_1=2\times (\frac{2}{3})^1=\frac{4}{3} et 3$\alpha_1=\frac{2\pi}{3}+1\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{4\pi}{3} donc 3$Z_1=R_1\times e^{i.\alpha_1}=\frac{4}{3}\times e^{i.\frac{4\pi}{3}}
et
3$R_2=2\times (\frac{2}{3})^2=\frac{8}{9} et 3$\alpha_2=\frac{2\pi}{3}+2\times(\frac{2\pi}{3})=2\pi donc 3$Z_2=R_2\times e^{i.\alpha_2}=\frac{8}{9}\times e^{i.2\pi}=\frac{8}{9}


voila en esperant t'avoir eclairer
@+



Posté par
H_aldnoerre : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 15:36

slt
j'ai oublier le 4$\red \frac{8}{27} !!

on a donc  
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=R_0\times(\frac{2}{3}.R_0)\times(\frac{4}{9}.R_0)\times e^{i.(\alpha_0+(\frac{2\pi}{3}+\alpha_0)+(\frac{4\pi}{3}+\alpha_0))}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times\frac{8}{27}\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0)^3\times\fbox{\frac{8}{27}}\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0+\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}\times e^{i.(\frac{6\pi}{3})}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}\times e^{i.(2\pi))}
i.e.
4$Z_0\times Z_1\times Z_2=(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}

or on sait que 4$Z_0\times Z_1\times Z_2=8 on a donc
4$(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}=8
i.e.
4$(R_0\times\fbox{\frac{2}{3}})^3\times e^{i.(3\times\alpha_0)}=2^3\times e^{i.2\pi}

on a donc un systeme :
4$\.\array{rcl$R_0\times\fbox{\frac{2}{3}}=2\\3\times\alpha_0=2\pi}\}
i.e.
4$\.\array{rcl$R_0=\fbox{3}\\\alpha_0=\frac{2\pi}{3}}\}

on a donc :
3$R_n=\fbox{3}\times (\frac{2}{3})^n et 3$\alpha_n=\frac{2\pi}{3}+n\times(\frac{2\pi}{3})


donc :
3$R_0=\fbox{3}\times (\frac{2}{3})^0=\fbox{3} et 3$\alpha_0=\frac{2\pi}{3}+0\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{2\pi}{3} donc 3$Z_0=R_0\times e^{i.\alpha_0}=\fbox{3}\times e^{i.\frac{2\pi}{3}}
et
3$R_1=\fbox{3}\times (\frac{2}{3})^1=\fbox{2} et 3$\alpha_1=\frac{2\pi}{3}+1\times(\frac{2\pi}{3})=\frac{4\pi}{3} donc 3$Z_1=R_1\times e^{i.\alpha_1}=\fbox{2}\times e^{i.\frac{4\pi}{3}}
et
3$R_2=\fbox{3}\times (\frac{2}{3})^2=\fbox{\frac{4}{3}} et 3$\alpha_2=\frac{2\pi}{3}+2\times(\frac{2\pi}{3})=2\pi donc 3$Z_2=R_2\times e^{i.\alpha_2}=\fbox{\frac{4}{3}}\times e^{i.2\pi}=\frac{4}{3}


encore dsl
@+

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 15:39

bonjour,


pour les 1 et 2 il  n'y a pas de probleme.

pour la question 3 :


Z_0Z_1Z_2 = 8 = R_0^3\times(\frac{2}{3})^3\times e^{i}\times{(\theta_0+\theta_0+\frac{2}{3}\pi+\theta_0+\frac{4}{3}\pi)}

j'arrive pas a la taper en latex

on arrive a

Z0Z1Z2=8=R0au cube multiplie par (2/3) au cube multiplie par e puissance i lui meme multiplie par 30+ 6pi divise par 3


j'ai un peu ameliore mais avec ce qqui est eccrit tu devrais comprendre.

tout ceci te donne 0 = 0

donc tu devras trouver  R0= 3
j'ai peut etre ete un peu vite a la fin . je recois par mail les avis de reponse ou de question

A toi de jouer n'hesite pas pour les questions

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 15:41

re je vois que pendant ce temps tu as eu tes reponses

Posté par fantomet (invité)lénoncé dit : 28-03-05 à 16:17

oui mai lénoncé nous di que teta o est compri dans lintervalle [0 ; pi/2 [ alor kon trouve 2pi/3.
alors la je compren pa trop...
et merci de maider

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 16:53

re

je ne suis pas d'accord avec ta valeur de 2pi/3 pour 0

pour que le produit des 3 Z soit reel il faut que le facteur de i dans e puissance i soit nul. ou si tu preferes le sinus soit nul et le cos = 1 .
cela nous donne 30+2/3 +4/3 = 30+2 = 0
0=0 modulo 2

en recapitulant si tu es d'accord avec moi

R0=3   0=0
R1=2   1=2/3
R2=4/3 2=4/3

Posté par
H_aldnoerre : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 17:16

a oui effectivement je me rend compte de cet erreur fantomet

qd a paulo je ne comprend pa ta demonstration ...

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 18:30

re
Z0Z1Z2=8

Z_0Z_1Z_2 =R^3_0\times(\frac{2}{3})^3e^{i\times{3theta}_0+\frac{2}{3}\pi+\frac{4}{3}\pi}

j'insiste pas en latex

pour que le produit des 3 Z soit un réel il faut que
30+\frac{6}{3}\pi=0

ou 30+ 2 = 0

la premiere solution est 0 =0

0 + 2 = 0

(l'interval de 0 est y compris 0)

il peut y avoir aussi comme solution

3\theta_0 + 2\pi =0

ou \theta_0 = -\frac{2\pi}{3}
mais cette solution comme vous l'avez signale tous les deux n'est pas dans l'interval

est-ce-que je vous ai convaincu????????

Posté par fantomet (invité)suite de lexo 28-03-05 à 19:00

oui pas de probleme c'est bien teta o = 0 et non 2pi/3
c'est incroyable qu'une petite faute com celle la plante toute la suite de l'exo!
sinon il y a une suite! et j'ai un peu de mal! la voisci :
dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal direct ( O,u,v)on appele Mn le point daffixe Zn.
a) placer les points Mo , M1 M2 et M3 dans le plan P
alor la je fai coment pour M3?

b) pour tout entier naturel n , calculer ||MnMn+1|| en fonction de n ( ceux sont des vecteurs)

donc la j'ai calculer Zn+1 - Zn mai ca me donne un truc de fou

c) on pose ln = somme ||MkMk+1|| toujour des vecteur
calculer ln en fonction de n et déterminer la limite ln quand n tend vers + linfini

et la je sai pa du tout comen faire!!!
merci encore! fantomet

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 19:30

re

a/ M0; R0=3 ; 0=0

   M1; R1=2 ; 1=2/3

   M2; R2=4/3 ; 2=4/3

   M3; R3=8/9 ; 3= 2=0

en fait tu dessines une coquille d'escargot.

je regarde la suite , il faut la faire avec la forme exponentielle

c'est pour quand ce DM

a plus tard

Posté par fantomet (invité)re 28-03-05 à 20:09

le dm est pour demain. je suis dessus depuis samedi aprem
mai je te trouve vraiment dure. fau dire les suites c'est pas trop mon truc.... mai coment on fai pour avoir M3,?

Posté par fantomet (invité)re 28-03-05 à 20:18

dsl ma kestion sur M3 est stupide.
je travaille sur les suitesj 'ai du mal...

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 20:53

re

je cherche toujours , je sais que la solution est simple mais je ne l'ai pas encore trouvé.
a plus

Posté par
paulore : nombre complexes et suites! 28-03-05 à 22:27

re

pour le b j'ai pense a une solution qui a condition d'etre rigoureux dans les calculs pour ne rien perdre en route il suffit d'appliquer la relation angulaire dans un triangle  quelquonque ABC de cote a , b , c  et d'angle A

a2=b2+c2-2bc cos A

b et c sont les  modules Rn et Rn+1 et A est l'angle 2/3 .

si cela peut te donner une direction.

bonsoir et a plus tard


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