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Nombre d'itération dichotomie
Bonjour,
J'ai une fonction f(x)=exp(x)+3*
(x)-2
On prend l'intervalle I=[0;4/9]
J'ai montré que l ' pouvait utiliser la méthode de la dichotomie pour résoudre f(x)=0 et que la solution est unique. Ensuite je dois trouver le nombre d'itération qui garantissent une erreur inférieur à 2^-20
Du coup vu que mon intervalle et de longueur 4/9 j'ai fait
(4/9)*(1/ 2^(k+1) ) < 2^-20
Du coup j'ai 2^(-k+1) < 9*2^-20
Pour faire la calcul je voudrais majorer 9 par 2^4 mais est-ce correct?
Si je fais cela je trouve un nombre d'intégrations minimal égale à 17.
Merci d'avance pour votre aide!
Si l'on choisit le milieu de l'intervalle, l'erreur faite est inférieure à la moitié de l'intervalle. Mais ça, c'est du pinaillage. On va supposer que l'on choisit la dernière limite de borne trouvée et donc s'arranger pour que la largeur de l'intervalle soit inférieure à 2-20. A toi d'adapter ta méthode, si tu souhaites en fin d'algorithme prendre le milieu du dernier intervalle trouvé.
D'abord, il ne faut pas prendre k+1, mais k, tout simplement.
Après 0 itération, l'intervalle mesure
Après 1 itération, l'intervalle mesure
Après 2 itérations, l'intervalle mesure
...
Après k itérations, l'intervalle mesure
On veut trouver k tel que
En prenant le logarithme des deux membres, ce qui est légitime dans une inégalité, puisque la fonction logarithme est croissante, on obtient :
Il faut donc 19 itérations exactement pour garantir une erreur limitée à 2-20
Je ne vois pas l'intérêt de majorer 9 par 24, cela ne simplifie nullement le calcul.
Mais en plus si tu veux qu'une quantité soit inférieure à 9, il ne suffit pas de garantir qu'elle soit inférieure à 16 ! Il suffit par contre qu'elle soit inférieure à 8 !
Donc, deux erreurs ! k+1 au lieu de k : aucune raison valable. Et majorer 9 par 16 alors qu'il fallait le minorer par 8 !
oui pythamede effectivement prendre 20 au lieu de 21 ....
mais après on peut dans ce cas simple donner immédiatement la solution et donner facilement 20 - k < 3 car x --> 2x est croissante et 23 < 9 < 24...
Bonjour,
La fonction en question est croissante du fait que sa dérivée f'(x)= exp(x)+(3/(2*racine(x))) est toujours positive dans l'intervalle de définition, avec f(0)=-1 et f(4/9)=1,559623498 donc admet une seule racine au point du changement de signe.
Le nombre d'itération par dichotomie pour que l'erreur soit <2^-20 est de 20 (ceci par calcul), la racine x0= 0,090958065, dont f(x0)=7,22843E-07
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