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Niveau seconde
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Nombre d'or

Posté par
Lea3869
17-04-16 à 15:03

Bonjour, j'ai un exercice de maths sur lequel je bloque sur une question, voici le sujet :

Partie A :
Sur le graphique ci-après, on a représenté les courbes d'équations y=1/x et y=x-1.

1. Justifiez que l'abscisse de A, notée Phi, est solution de l'équation x²-x-1 = 0.

Ma réponse : Comme A est le point d'intersection entre les deux droites, donc:
x-1 = 1/x
(x-1) * x = 1
x²-x= 1
x²-x-1 = 0
Donc Phi est bien solution de l'équation car cela correspond aux cordonnées du point d'intersection A.

2.a) Vérifiez que pour tout nombre x :
x²-x-1 = (x-1/2)² -5/4

Ma réponse :
(x-1/2)²-5/4
(x²-2*x*1/2+(1/2)²)-5/4
x²-x+ 1/4 -5/4
x²-x-4/4
x²-x-1
Donc l'égalité est vraie.

2.b) Déduisez-en la valeur de Phi.

Et c'est ici que je bloque, je ne comprend pas comment on peut la trouver, d'autres sites ont déjà tenter d'expliquer mais je ne comprend pas, ils donnent directement le résultat 1+5 /2.
Pouvez-vous m'expliquer comment arrive-t-on à ce résultat? Merci beaucoup.

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 15:41

Et pour la Partie B je bloque aussi :

Le nombre Phi est appelé "nombre d'or"; il intéresse de nombreuses configurations en géométrie. En voici une : ABCD est un carré de coté L, E est le milieu de [AB]. L cercle de centre E passant par C coupe [AB) en F; on construit le rectangle AFGD.

1. Démontrez que AF = L(1+5 ) / 2

Ici je bloque, je ne comprend pas pourquoi on utilise Phi dans le calcul pour trouver AF

2. Déduisez-en que AF/AD= Phi

Merci d'avance pour vos explications !

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 15:49

Ne peux-tu résoudre l'équation  x² - x - 1 = 0  à l'aide de la forme canonique de ce trinôme donnée au 2.a) ?

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 15:54

Partie B.  AF = AE + EF = . . . .

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 17:02

Priam @ 17-04-2016 à 15:49

Ne peux-tu résoudre l'équation  x² - x - 1 = 0  à l'aide de la forme canonique de ce trinôme donnée au 2.a) ?


Je n'ai pas appris les formes canoniques, mais cela permet-il d'en déduire la valeur de Phi ?

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 18:57

Pour résoudre un trinôme du second degré mis sous forme canonique, il suffit d'appliquer l'identité remarquable  a² - b² = (a + b)(a - b) .
Essaie de le faire sur l'expression du 2.a).

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 19:49

Cela donne alors (x - 1/2)² -5/4, j'utilise a² - b² = (a+b) (a-b) :

(x-1/2)² - 5/4 ² ?

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 20:05

Si c'est bien cela, je trouve alors
(x- 1/2)² - 5*4 ²
(x-1/2 +5/4 ) (x-1/2 -5/4 )

Le calcul se finit alors ici ? Car je ne sais pas calculer avec les racines contenant des fractions.

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 20:33

C'est juste.
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit que l'un ou l'autre des facteur soit nul.
Ecris donc que le premier facteur est nul, puis que le second est nul.
Tu verras que l'une des solutions est le nombre d'or .

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 20:50

J'arrive donc à l'étape :
Soit x - 2/4 + 5/4 = 0
Soit x - 2/4 - 5/4 = 0

Mais comment fait-on des soustractions et des additions entre deux fractions lorsque l'une est mise à la racine carrée ?

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 21:06

Inutile de remplacer 1/2 par 2/4, car la seconde égalité doit être écrite   x - 1/2 - (5/4) = 0 .
D'où  x = . . . .

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 17-04-16 à 21:09

x = (1 + 5 ) /2

On arrive directement sur ce résultat alors ?

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 17-04-16 à 22:25

Oui, c'est la valeur exacte du nombre , qui est l'une des solutions de l'équation  x² - x - 1 = 0 .

Posté par
Lea3869
re : Nombre d'or 18-04-16 à 13:04

Merci beaucoup de votre aide !

Posté par
Priam
re : Nombre d'or 18-04-16 à 14:22



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