Bonjour, j'ai un exercice de maths sur lequel je bloque sur une question, voici le sujet :
Partie A :
Sur le graphique ci-après, on a représenté les courbes d'équations y=1/x et y=x-1.
1. Justifiez que l'abscisse de A, notée Phi, est solution de l'équation x²-x-1 = 0.
Ma réponse : Comme A est le point d'intersection entre les deux droites, donc:
x-1 = 1/x
(x-1) * x = 1
x²-x= 1
x²-x-1 = 0
Donc Phi est bien solution de l'équation car cela correspond aux cordonnées du point d'intersection A.
2.a) Vérifiez que pour tout nombre x :
x²-x-1 = (x-1/2)² -5/4
Ma réponse :
(x-1/2)²-5/4
(x²-2*x*1/2+(1/2)²)-5/4
x²-x+ 1/4 -5/4
x²-x-4/4
x²-x-1
Donc l'égalité est vraie.
2.b) Déduisez-en la valeur de Phi.
Et c'est ici que je bloque, je ne comprend pas comment on peut la trouver, d'autres sites ont déjà tenter d'expliquer mais je ne comprend pas, ils donnent directement le résultat 1+5 /2.
Pouvez-vous m'expliquer comment arrive-t-on à ce résultat? Merci beaucoup.
Et pour la Partie B je bloque aussi :
Le nombre Phi est appelé "nombre d'or"; il intéresse de nombreuses configurations en géométrie. En voici une : ABCD est un carré de coté L, E est le milieu de [AB]. L cercle de centre E passant par C coupe [AB) en F; on construit le rectangle AFGD.
1. Démontrez que AF = L(1+5 ) / 2
Ici je bloque, je ne comprend pas pourquoi on utilise Phi dans le calcul pour trouver AF
2. Déduisez-en que AF/AD= Phi
Merci d'avance pour vos explications !
Ne peux-tu résoudre l'équation x² - x - 1 = 0 à l'aide de la forme canonique de ce trinôme donnée au 2.a) ?
Pour résoudre un trinôme du second degré mis sous forme canonique, il suffit d'appliquer l'identité remarquable a² - b² = (a + b)(a - b) .
Essaie de le faire sur l'expression du 2.a).
Si c'est bien cela, je trouve alors
(x- 1/2)² - 5*4 ²
(x-1/2 +5/4 ) (x-1/2 -
5/4 )
Le calcul se finit alors ici ? Car je ne sais pas calculer avec les racines contenant des fractions.
C'est juste.
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit que l'un ou l'autre des facteur soit nul.
Ecris donc que le premier facteur est nul, puis que le second est nul.
Tu verras que l'une des solutions est le nombre d'or .
J'arrive donc à l'étape :
Soit x - 2/4 + 5/4 = 0
Soit x - 2/4 - 5/4 = 0
Mais comment fait-on des soustractions et des additions entre deux fractions lorsque l'une est mise à la racine carrée ?
Inutile de remplacer 1/2 par 2/4, car la seconde égalité doit être écrite x - 1/2 - (5/4) = 0 .
D'où x = . . . .
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