bonjour, ce serait gentil de m'aider à répondre à ce problème:
dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O, , )
on appelle chemin optique joignant 2 points A et B toute suite (Ao, A1, A2....., An) tel que
Ao=A, An=B et pour tout entier k (0<=k<=n-1) le vecteur AkAk+1 est égal au vecteur i ou j.
l'entier n est la longueur du chemin.
la droite est la droite d'équation y=x privé du point O.
1) déterminer le nombre de chemins joignant le point O et le point M de coordonnées (p,q) avec p et q 2 entiers naturels.
2) déterminer le nombre de chemins d'origine O et de longueur fixée n où n est un entier naturel non nul.
3) soit les point A'(0,1), A(0,1) et M(p,q) avec p et q 2 entiers naturels tels que p>q>0
a) montrer que le nombres de chemins joignant A et M et rencontrant est égal au nombre de chemins joignant A' et M
b) En déduire le nombre de chemins joignant O et M et ne rencontrant pas la droite delta.
4) soit n un entier naturel non nul.
montrer que le nombre de chemins d'origine O, de longueur 2n, ne rencontrant pas la droite delta est la combinaison de n éléments parmi 2n éléments
5) utiliser ce qui précède pour démontrer la relation :
(de k=0 jusqu'à k=n )du produit de la combinaison de k éléments parmi 2k éléments par la combinaison de (n-k)éléments parmi 2(n-k)éléments doit être égal à4n.
pour la question 1) je pense qu'il y en a une infinité mais je n'en suis pas sûr. Pour la question 2), j'ai trouvé que le nombre de chemins est (n+1) mais je n'arrive pas à le démontrer . Pour les autres questions, je n'ai aucune idée de la réponse.
Merci d'avance, au revoir.
MATH