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Niveau Reprise d'études
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Nombre de Mersenne

Posté par
Ramanujan
11-01-19 à 17:51

Bonsoir,

Je souhaiterais résoudre ce problème sans utiliser le théorème de Bezout ni le théorème de Gauss ni les congruences.

1/ On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés p_1,p_2,  \cdots p_n
On considère E= p_1 \times p_2 \times p_n + 1
Démontrer que E est un entier supérieur ou égal à 2 et que E est premier avec chacun des  p_1,p_2,  \cdots p_n

2/ Montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en utilisant le fait que E admet un diviseur premier.

J'ai fait :

\forall i \in [|1,n|] : p_i \geq 2 donc  p_1 \times p_2 \times p_n \leq 2

Donc E \geq 3

On a :

E = p_1 \times (p_2 \times \cdots p_n ) + 1

On reconnait la division euclidienne de E par p_1 on a :

E = p_1 \times q + rq =p_2 \times \cdots p_n et r=1

On a bien : 0 \leq 1 < p_1 car p_1 \geq 2

Même raisonnement pour les autres p_i

Donc p_i ne divise pas E donc \forall i \in [|1,n|] E est premier avec tous les p_i

2/E \geq 2 donc E est décomposable en produit de facteur premiers. Il admet donc un diviseur premier p

Mais par l'absurde s'il existe un nombre fini de diviseurs premiers, aucun d'entre eux ne divise E ce qui est contradictoire avec E qui admet p comme diviseur premier.

Je voulais savoir si c'est juste avant de faire la suite

Posté par
lionel52
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 18:25



Donc p_i ne divise pas E donc \forall i \in [|1,n|] E est premier avec tous les p_i



Explique pourquoi?

Posté par
lionel52
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 18:27

Dailleurs tu nas pas besoin de savoir que E est premier avec pi pour la suite de la démo.

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 18:39

lionel52 @ 11-01-2019 à 18:25



Donc p_i ne divise pas E donc \forall i \in [|1,n|] E est premier avec tous les p_i



Explique pourquoi?


Justement je ne sais pas l'expliquer

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 18:47

Bah si j'utilise que E est premier avec p_i pour obtenir une contradiction...

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 19:38

Bonjour
non, tu utilises seulement le fait qu'aucun des p_i ne divise E, pour obtenir une contradiction pour la suite

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 19:46

Ah d'accord merci.

Comment montrer que si p_i ne divise pas E alors E est premier avec tous les p_i ?
Je tente une démo

Les diviseurs communs à E et p_i sont : D=\{1\}
Donc le plus grand diviseur commun est 1
C'est juste ça ?

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 20:00

Pour la suite j'ai réussi toutes les questions facilement (bac asie 2014) mais je sais plus trop comment montrer que : M_{11} = 2047 n'est pas premier

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 22:00

en calculant 23\times 89 , peut-être ?

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 22:08

Comment savez vous que : 2047 = 23 \times 89 ?

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 11-01-19 à 22:29

Comment avez vous eu cette idée ?

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 12-01-19 à 00:20

\sqrt{2047}= 45,2

Donc il faut tester de diviser 2047 par tous les nombres premiers entre 2 et 47

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre de Mersenne 12-01-19 à 00:42

non, pas par tous
si on connaît les tables de multiplication, on sait que le 7 final ne viendra pas de la table des 5 ni des 6, par exemple ...
à par 1 fois 7 ou 3 fois 9, rien ne termine par 7, ça limite les essais

Posté par
Ramanujan
re : Nombre de Mersenne 12-01-19 à 01:01

Ah d'accord bien vu.

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre de Mersenne 12-01-19 à 07:14

Remarque que comme tu n'essaies que les nombres premiers ça va revenir un peu au même.

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