Re-bonjour
Une serrure de sécurité possède n boutons numérotés de 1 à n. Une n-combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons. Chaque bouton n'est poussé qu'une seule fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
La modélisation est effectuée de la façon suivante : pour tout entier n1, on appalle n-combinaison toute suite ordonnée (P1,P2,P3...Pj) de j parties P1,P2,...Pj de l'ensemble [1,n] (1jn ; ces parties sont toutes non vides, deux à deux disjointes et leur réunion est égale à l'ensemble [1,n]. On note an le nombre de n-combinaisons.
On conviendra que a0=1.
1) Je trouve n! n-combinaisons pour lesquelles les boutons sont poussés l'un après l'autre.
par ex pour je trouve a3=13
2)Soit n1. et S=(P1,P2...Pj) une n-combiansion.
- Soit k[1,n]. Combien ya-t-il de choix possibles pour la partie P1 lorsque l'on impose que CardP1=k ?
Je trouve 2n-1.
- Combien ya-t-il de n-combinaisons S dont le premier élément P1 possède k éléments ?
Pour un P1 donné à k touches appuyées. Pour P2, il reste n-k touches à appuyer :
on appuie sur une seule touche : n-k choix
on appuie sur 2 touches simultanément : 2 parmi n-k choix
...
on appuie sur n-k touches simultanéments : 1 seul choix
donc
sum( p=1 à n-k (C(p:n-k)) choix possibles
Mais en fait je ne suis sûre de rien du tout :/
- Exprimer an en fonction de a0,a1...an-1.
3) Pour tout entier n, on pose bn=an/n!
Démontrer que l'on a n1, bn= sum(k=1 à n (bn-k/k!)))
J'ai essayé de travailler la somme je n'en tire rien...
4) Démontrer que x réel et n entier on a
exp(x) sum (k=0 à n (xk/k!)
En déduire
n entier, bn1/(ln2)n
Merci pour votre aide
Bonjour,
1) Je trouve aussi n! pour le nombre de n-combinaisons pour lesquelles les boutons sont poussés l'un après l'autre
2)a) Combien y a-t-il de choix possibles pour la partie P1 lorsque l'on impose que Card(P1)=k ?
Il me semble que la réponse est
2)b) Combien y a-t-il de n-combinaisons S dont le premier élément P1 possède k éléments ?
On choisit les membres de P1 : possibilités
On construit le reste de la suite : possibilités
Le nombre recherché est donc
2)c) Exprimer an en fonction de a0,a1...an-1
3) "Pour tout entier n, on pose bn=an/n! Démontrer que l'on a n>=1, bn= sum(k=1 à n (bn-k/k!)))"
On déduit de la question précédente que :
Bonsoir Olivier
Voila ce que j'ai fait pour la question 2a :
J'ai comme un doute. Cet "Olivier" dont tu parles, est-ce moi (Nicolas) ?
Pour 2)a), je ne comprends pas ton avant-dernier message. Card(P1)=k signifie qu'on appuie simultanément sur k touches la première fois, non ?
Pardon je parlais à mon frère quand j'écrivais ce message, il s'appelle Olivier, excuse-moi
Pour moi Card(P1)=k c'est le nombre de façons de toucher k touches...
Donc une à une, ou 2 simultanément et n-k-2 autres succesives... non?
Il me semble que tu n'as pas compris la modélisation indiquée par l'énoncé.
P1 est l'ensemble des touches appuyées ensemble à la première pression.
P2 est l'ensemble des touches appuyées ensemble à la seconde pression.
Etc...
Effectivement, merci...
J'ai réussi la démonstration de l'exponentielle (par une récurrence) simplement je ne retrouve pas l'inégalité suivante, as-tu une idée?
2)c) Exprimer an en fonction de a0,a1...an-1
Soit S une combinaison quelconque.
Son P1 a 1, 2, ... ou n éléments.
Donc
Ah je comprend mieux pour la 2c maintenant!
D'accord mais je ne cmprend pas réellement d'où sortent les inégalités... Je vais essayer d'approfondire ça, mais je ne vois pas tellement...
Je comprend bien le raisonnement, mais à rédiger, je suppose que c'est vrai au rang n-k je démontre que c'est vrai au rang n c'est ça ?
Il y a chez moi un problème d'affichage : ce sont bien des signes qui doivent apparaître sous les .
Ici, il faut supposer la propriété vraie pour b0, b1, ..., b(n-1), et démontrer qu'elle est vraie pour bn.
Nicolas
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