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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombre de parties.

Posté par
stella54
04-11-10 à 13:59

Soit E un ensemble à n éléments. On note C l'ensemble des couples de parties de E (c'est-à-dire C= P(E)*P(E) ).
1. Quel est le cardinal de C?
2. Soit oméga1 l'ensemble des couple A,B qui recouvrent E:
oméga1={(A,B)∈C,A∪B=E}
calculer le cardinal de oméga1
3. Soit oméga2={(A,B)∈C,A⊂B}
calculer le cardinal de oméga2
4. Soit ∂ l'application définie par:
∂: oméga1 → C
(A,B) → (Ac,B).
Montrer que ∂ est injective. Identifier son image. Qu'en pensez-vous?
5. On tire au hasard un couple de parties (A,B), suivant la loi uniforme sur C. Quelle est la probabilité que l'une des parties soit incluse dans l'autre?


Alors pour la 1 je dirais n*n! c'est sa?
apres je voit pas comment faire pouvez vous m'expliquer s'il vous plait

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 04-11-10 à 16:06

bonjour,
si E et F sont deux ensembles finis Card(ExF)=card(E).card(F)
quel est le cardinal de P(E)?
2)
(A\cup B)=Edonc \bar A \subset B)
B est un sur ensemble de \bar A=>B=(\bar A\cup A')avec A'\subset A

*tu choisis une partie A de E à k éléments (0kn)
(il y en aC_n^k)\bar A est donc fixé
**A étant un ensemble à k éléments A possède 2^ksous ensembles ce qui donne 2^kchoix pour A'
en conclusion le nombre de couples (A,B) de P(E)*P(E)tels que((A\cup B)=E)est égal à\bigsum_{k=0}^nC_n^k2^k=.....

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 04-11-10 à 18:32

bonjour,
bon P(E)=2^n
donc P(E)*P(E)=2^2n   non ?

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 04-11-10 à 21:27

c'est card(P(E))=2npas P(E)

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 04-11-10 à 23:16

ui c bien cela que je voulais dire

pour le 3 et 4 on fait comment???

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 05-11-10 à 14:57

aider moi pour le 4 et 5  s'il vous plait

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 05-11-10 à 19:06

4)on étudie l'application de C dans C \delta ,(A,B)|->(A^c,B)
elle est injective<=>(\delta(A,B)=\delta(A',B')=>(A,B)=(A',B'))
\delta(A,B)=\delta(A',B')=>(A^c,B)=(A'^C,B')=>A^c=A'^c et B=B'
or A^c=A'^c=>A=A'
donc si les images sont égales  les antécédents sont égaux \deltaest injective
d'autre part un couple (A,B) quelconque de C est image (A,B)=\delta(A^c,B) puisque (A^c)^c=A donc l'application est surjective  l'image de C par \deltac'est C
ce qui est normal puisque C est un ensemble fini

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 05-11-10 à 19:21

5)
il faut déterminer le cardinal de l'ensemble des couples de C tels que l'un des éléments soit dans l'autre
\Omega_1={(A,B)}\in C/A\subset B
\Omega'_1={(A,B)}\in C/B\subset A

attention ces deux ensembles ont en commun les couples(X,X)où X est une partie quelconque de E

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 05-11-10 à 21:07

il faut lire\Omega_2,\Omega'_2

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 06-11-10 à 16:46

la proba du 5 c'st donc 3n-2*2n / (22n) ????
svp dites moi

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 06-11-10 à 18:11

c'est P(A\subset B)+P(B\subset A)-P(A=B) car(A\subset B)\cap(B\subset A)=(A=B)

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 06-11-10 à 19:54


"on étudie l'application de C dans C ∂(A,B)→(Ac,B) " NON !!

"l'application est surjective l'image de C par ∂ c'est C" Non... Ce n'est pas possible car l'ensemble de départ estΩ1 et non C ! l'image de C par δ n'a pas de sens car δ n'est pas définie sur C (même si elle pourrait l'être bien sûr).

Pour le 4 c'est quoi alors????

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 06-11-10 à 21:53

effectivement ,je n'ai pas étudié l'application [tex\delta[/tex]

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 06-11-10 à 22:00

(A,B)\in\Omega_1<=>(A\cup B=E)=>\bar A\subset B=>(\bar A,B)\in \Omega_2

Posté par
stella54
re : Nombre de parties. 07-11-10 à 09:19

Donc au final on sais que δ est une fonction injective de Ω1 dans Ω2. Qu'est-ce qu'on peux en conclure ?

Identifier son image. Qu'en pensez-vous?
c'est quoi la réponse à cette question  s'il vous plait

Posté par
veleda
re : Nombre de parties. 07-11-10 à 14:18

il me semble que\Omega_1 et \Omega_2ont le même cardinal (tu vérifies ,je dois partir) donc si \deltaest injective...



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