Bonjour,

Si g s'annule, cela te fournit une équation, en considérant les coefficients comme des inconnues.
Si elle s'annule plus de 2N fois, ça te donne autant d'équations.
Ensuite tu appliques les résultats connus sur les systèmes linéaires de n équations à p inconnues.

Merci, mais je ne comprends pas ce que tu entends par « résultats connus sur les systèmes linéaires de n équations à p inconnues » ?

Bonjour,
une autre méthode, en allant danser.

On peut écrire f comme produit d'un polynôme en exp(i.x) par exp(-i.n.x).

Non pas encore.
Je viens de lire la page wikipedia ahah, du coup je suppose que je dois dire si ça s'annule strictement + de 2n+1 fois alors j'ai au moins 2n+2 équations pour 2n+1 inconnues, donc aucune solution (absurde car l'ensemble est non vide), si ça s'annule 2n+1 fois alors unique solution (absurde car l'ensemble n'est pas un singleton) donc au plus 2n racines ? J'hésite à utiliser cette méthode car ce théorème sur les systèmes linéaires n'est pas encore un résultat de cours. Y'a t-il un autre moyen ?

Si vous n'avez encore rien vu sur les systèmes, on attend sans doute de vous une autre méthode (au passage, il faudrait monter que les équations sont indépendantes, ce qui n'est peut-être pas immédiat).
Du coup il vaut peut-être mieux regarder la piste indiquée par verdurin et les propriétés des polynômes. A voir.

Bonjour à tous.

Je développe l'idée de verdurin.

On sait que:          et      

En utilisant ces égalités, on obtient:
      les s'exprimant en fonction des   et des

On a donc, avec des notations évidentes:      où P est un polynôme de degré au plus 2N.

Ce polynôme admet donc au plus 2N racines complexes dans donc dans l'ensemble des complexes de module 1.

Et, comme l'application est une bijection de sur l'ensemble des complexes de module 1 ....