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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombre de Stirling deuxième espèce

Posté par
fplanina
27-09-22 à 18:01

Bonjour à tous,

Voilà ,je suis dans le chapitre dénombrement et je suis tombé sur un exercice sur le thème des nombres de Stirling de deuxième espèce.

Alors j'ai étudié la première espèce puis la deuxième pour savoir à peu près comment cela fonctionne.

On m'a proposé des propriétés
comme S(n,0)=0 ,
S(n,1)=S(n,n)=1
ou S(n,2)=2^(n-1)-1
où j'ai parfaitement compris les démonstrations.

Mais on m'a proposé une autre propriété disant :
S(n,n-1)=\frac{n(n-1)}{2}

C'est ici que je n'ai pas compris la démo :

je sais que
x^{n}= S(n,0) + S(n,1)x + S(n,2)x(x-1)...S(n,n)x(x-1)...(x-n+1)

et que
x^{n-1}= S(n,1) + S(n,2)(x-1) + S(n,3)(x-1)(x-2)... S(n,n)(x-1)(x-2)...(x-n+1)

POUR TROUVER
S(n,n-1)=\frac{n(n-1)}{2}

On me dit que « l'identification des coefficients de x^{n-1} dans les deux membres de l'identité » donne :

0 = S(n,n-1)-S(n,n)(1+2+...(n-1)))

Alors je suis totalement perdu. Comment arrive-t-on à un tel raisonnement ?

D'où sort le zéro ? Pourquoi un « moins » intervient ? Pourquoi on se retrouve avec (1+2+3..etc).
Alors j'ai bien compris qu'il fallait tirer deux coefficients précis mais delà à tout saisir , j'en suis loin.
Est-ce quelqu'un pourrait m'éclaircir là dessus ?

En vous remerciant d'avance !
Bon courage à vous.

Posté par
jandri Correcteur
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 27-09-22 à 21:50

Bonsoir,

il faut comprendre que x^{n}= S(n,0) + S(n,1)x + S(n,2)x(x-1)+\dots+S(n,n)x(x-1)...(x-n+1) est une égalité entre deux polynômes, par suite les coefficients de x^{n-1} dans les deux membres sont égaux.

Pour le membre de gauche, c'est 0.

Pour le membre de droite, c'est S(n,n-1)+cc est le coefficient de x^{n-1} dans S(n,n)x(x-1)...(x-n+1).

Comme S(n,n)=1, on obtient en développant le produit :
c=-(1+2+3+\dots+(n-1)).

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 28-09-22 à 11:24

Un grand merci pour ta réponse.

Bon , je pense avoir saisi pour le membre de gauche et le membre de droite jusqu'à S(n,n-1)+c , là pas de soucis

Après tu dis : en développant le produit ?

Je ne vois pas trop comment on peux arriver à un tel cheminement . Pourrais-tu m'éclairer là dessus ?
En te remerciant d'avance.

Posté par
jandri Correcteur
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 28-09-22 à 15:59

En fait on n'a pas besoin de développer complètement le produit  x(x-1)...(x-n+1) , il suffit de calculer le coefficient de x^{n-1}.

Pour cela on peut écrire P_n=x(x-1)...(x-n+1)=x^n-a_nx^{n-1}+\dots
puis P_{n+1}=(x-n)P_n=(x-n)(x^n-a_nx^{n-1}+\dots)=x^{n+1}-(n+a_n)x^n+\dots.

On en déduit a_{n+1}=a_n+n d'où parune récurrence immédiate a_n=1+2+\dots+(n-1).

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 28-09-22 à 18:28

Effectivement oui.
Tout est clair maintenant grâce à toi !
Merci d'avoir pris le temps de me répondre !
Au plaisir.

Posté par
jandri Correcteur
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 28-09-22 à 18:42

En complément je te signale qu'il existe une autre formule : x(x-1)...(x-n+1)=\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}S_1(n,k)x^k
où les S_1(n,k) sont les nombres de Stirling de première espèce.

Tu as donc montré que S_1(n,n-1)=\dfrac{n(n-1)}2.

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 29-09-22 à 12:39

Tu dis par récurrence immédiate  , d'accord j'essaie :

donc a_{n+1}=a_{n}+n donne

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)

Et après cela voudrait dire que a_{n-1}= 1+2+3...(n-2)
Pourquoi ?  Je veux dire c'est un coefficient , il peut avoir n'importe quelle valeur qu'est qui justifie cette addition ?

J'ai répondu trop vite hier. Bon courage à toi.

Posté par
jandri Correcteur
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 29-09-22 à 16:27

Soit P(n) la propriété a_n=1+2+\dots+(n-1)

On sait que a_{n+1}=a_n+n

On en déduit a_{n+1}=a_n+n=1+2+\dots+(n-1)+n qui est P(n+1).

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 30-09-22 à 13:18

Merci , je n'avais pas connaissance de la propriété
a_{n}=1+2+...(n-1)

Alors j'ai bien compris tout le raisonnement. J'ai juste une dernière question : j'ai fait un exemple avec P_{4}
donc P_{4}=x^{4}-6x^{3}+11x^{²}-6x

En fait la propriété là : elle ne marche que pour le deuxième coefficient on dirait . Je veux dire pour a_{4} cela marche , pour a_{3} oua _{2} non
comment cela se fait ? D'où sort cette propriété en fait ? je ne l'ai jamais vue dans l'étude du nombre de Stirling.  Merci à toi . Après je te fiche la paix

Posté par
jandri Correcteur
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 30-09-22 à 15:51

Bonjour,

tout d'abord il faudrait que tu modifies ton profil, tu n'es plus en terminale S.

Ensuite tu n'as sans doute pas vu en cours ce qu'on appelle les fonctions symétriques élémentaires qui donnent les coefficients d'un polynôme à partir de racines. Par exemple :

P_{4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-(1+2+3)x^{3}+(1\times2+1\times3+2\times3)x^{2}-(1\times2\times3)x

Dans la pratique le plus important est de retenir que :

(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)=x^n-(r_1+r_2+\dots+r_n)x^{n-1}+\dots+(-1)^nr_1r_2\dots r_n

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 30-09-22 à 17:11

Non je n'ai pas vu les fonctions symétriques élémentaires mais je vais m'y mettre sérieusement. (j'étudie les chapitres de MPSI). Je suis dans le chapitre dénombrement où un exercice sur Stirling est proposé.

Aussi , je prends bien note de toutes tes infos. Encore merci jandri !  A bientôt peut être.

Posté par
fplanina
re : Nombre de Stirling deuxième espèce 01-10-22 à 16:43

Merci jandri , tout est ok.

Oui c'est la formule des coefficients racines et Viète.
Je l'avais vu brièvement  et je n'avais pas tout de suite fait le lien.

Bon week-end.



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