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nombre dérivé et meilleure approximation affine
Bonjour à tous et bonnes vacances.
Je me pose cette question depuis longtemps:
Si on considère une fonction f dérivable sur un intervalle,il est d'usage de dire que x
f '(a)(x-a)+f(a) est la meilleure approximation affine de la fonction f sur un voisinage de a.
Quel sens donner à cette "meilleure approximation afine"?
Au sens d'une norme, des résidus quadratiques ?
Au sens des limites ?
Cela ne voudrait-il pas dire que la limite de
lorsque tend vers a est nulle ?
(On l'a par la définition même de la dérivabilité en un point avec ).
Bonjour jeroM; je crois que c'est une approximation au sens d'une semi-norme.
pour intervalle de R et
,notons:
={f:I-->R/f dérivable en a}
={f:I-->R/f affine}
(il est facile de vérifier que est un R-espace vectoriel et que
en est un sous-espace)
on munit de la semi-norme ||f||=|f(a)|+|f'(a)| alors: pout tout
il existe une unique application affine
telle que ||f-h|| minimum
Je ne pense pas que ça soit la meilleure approximation de la fonction au voisinage de a étant donné que cela correspond à un DL à l'ordre 1. Un DL a l'ordre 2 et plus est plus proche de la fonction.
Bonjour Shadyfj,
meilleure approximation affine
n'implique-t-il pas un DL d'ordre 1 ?
Philoux
oups désolé j'avais pas bien lu
c'est pas la grande forme lol
Bonjour à tous,
elhor_abdelali, j'ai essayé la méthode que tu donnes, mais qu'est-ce qui assure l'existence et l'unicité de cette fonction affine ? Quel théorème utilises-tu ? (th de projection ?)
on dira que je maitrise assez mal les semi-normes.
N_comme_Nul, ma question tourne plutot autour de la quantification de l'erreur commise en remplaçant f par l'approximation affine et du coup pourquoi cette approximation affine minimise l'écart.
Essaie alors de prendre une autre application affine (telle que
) et essaie d'estimer l' "erreur" commise lorsque l'on assimile g à f dans un voisinage de
.
Salut,
il n'y a rien de compliqué ici:
-L'existence nous est fournie par h:=x->h(a)+h'(a)(x-a) qui vérifie bien l'équation.
-L'unicité est donnée par le fait que ||f-h||=0 équivaut à
|f(a)-h(a)|+|f'(a)-h'(a)|=0
Notamment f(a)=h(a) (1) et f'(a)=h'(a) (2)
Puisque h est affine, h(x)=mx+p notamment (2) donne m=h'(a)=f'(a) et (1) donne af'(a)+p=f(a) et donc p=f(a)-af'(a).
Sauf erreur(s)
A+
Bonjour à tous;
oui jeroM tu peux facilement vérifier que:
{
} est un sous-espace de
supplémentaire à A(I) d'où l'existence et l'unicité de la décomposition
avec et
ainsi
peut se voir comme le projection de
sur
parallélement à
Bonjour tous le monde,jeroM je cite "ma question tourne plutot autour de la quantification de l'erreur commise en remplaçant par l'approximation affine et du coup pourquoi cette approximation affine minimise l'écart" pour la 1ère partie de ta question la réponse est donnée par la définition mm de la dérivabilité de
en
à savoir que
pour la seconde à mon avis tu te demandes s'il existe un intervalle
sur lequel h réalise "la meilleure approximation affine" de f au sens que:
=
est-ce bien ça ?
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