Bonjour,

487^4 =(487^2)^2
utiliser les identités remarquables pour factoriser 487^4-480^4

Voilà ce que j'ai fait:

(487^2)^2-(480^2)^2-7^3=  (487^2-480^2)(487^2+480^2)-7^3

Je sais pas comment continuer..

(487^2-480^2) est encore une identité remarquable ...

ça va donc donner :

(487-480)(487+480)(487^2+480^2)-7^3

faudrait peut être poursuivre et calculer ce qui est facile et immédiat à calculer !

** ( = de tête et instantanément)

J'ai obtenu ce qui suit:

7×967(487^2+480^2)-7^3 = 7(967(487^2+480^2)-7^2)

Alors on peut dire maintenant que le nombre est divisible par 7 puisqu'on a :
7× (967(487^2+480^2)-7^2)

Oui.

Point de vue méthode, quel réflexe tu peux avoir quand tu vois l'énoncé.

On nous parle de 487⁴ - 480⁴ - 7³ et on doit montrer que ce nombre que je vais noter A est multiple de 7.
Déjà, on voit que le dernier terme ne change rien à l'histoire.  Pour montrer que ce nombre A est multiple de 7, il suffit de montrer que  487⁴ - 480⁴ est multiple de 7.   Quand on va ajouter ou soustraire 7³, ça ne changera rien, on aura toujours un multiple de 7.
Et là, normalement, il y a un truc qui doit te sauter aux yeux, c'est que 487-480, ça donne 7. Ce n'est certainement pas une coïncidence..

Il faut vite voir que le 7³ ne sert à rien, juste à nous distraire un peu. et se concentrer sur le 487⁴-480⁴

le calcul de 487+480 était même inutile, il pouvait rester comme ça
le seul point important était le 487-480 =7
et donc :
(487-480)(487+480)(487^2+480^2)-7^3 = 7(487+480)(487^2+480^2) - 7^3
=7[(487+480)(487^2+480^2) - 7^2]