Notons F l'application que vous me donnez.
Donnons-nous 2 permutations s et t telles que F(s)=F(t)
Donc s(k)=t(k) pour tout k différents de i et de j
s(i)=F(s)(j)=F(t)(j)=t(i), de même pour j donc finalement s=t ce qui prouve que F est injective, comme elle agit sur un ensemble fini cela signifie qu'elle est bijective.
Or
* n'est pas une inversion de {i,j} si
en est une et inversement, ce qui signifie qu'il y a autant d'inversions de {i,j} que de non-inversion, il y en a donc autant l'une que l'autre, il y en a donc une probabilité de 1/2 que {i,j} présente une inversion.
Après je ne vois pas trop où je dois utiliser la linéarité de l'espérance.