7 donc non divisible par .....
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Nombre premier : option expertes
Posté par martizic
Bonjour,
J'ai un long exo d'option expertes a faire pour*****. J'ai reussit les 4 premieres questions mais je bloque sur la derniere. La question 5) n'a rien a voir avec les precedentes donc je vous epargne mes reponses.
Voici le sujet :
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l?exercice est de
démontrer que l?entier naturel n = p4 - 1 est divisible par 240, puis d?appliquer ce résultat.
5) Existe-t-il quinze nombres premiers p1 , p2 , ., p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l?entier A = p14 + p24 + ... + p154 soit un nombre premier ?
Merci de bien vouloir m'aider
Bonjour,
Citation :
La question 5) n'a rien a voir avec les precedentes
La question 5) n'a rien a voir avec les precedentes
Le crois-tu vraiment ?
Calcule 1 + 2 + 3 +... + 15, et rapproche le résultat de ce que tu as montré précédemment.
Bon, j'ai écrit une bêtise, désolé 
La bonne piste, c'est :
Se rappeler que si a est divisible par b, alors a est divisible par tout diviseur de b
Vérifier que 15 divise 240
Conclure 
Bonjour,
Pourrais -tu expliquer en quoi vérifier que 15 divise 240 aiderait à montrer :
Citation :
5) Existe-t-il quinze nombres premiers p1 , p2 , ., p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l?entier A = p14 + p24 + ... + p154 soit un nombre premier ?
5) Existe-t-il quinze nombres premiers p1 , p2 , ., p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l?entier A = p14 + p24 + ... + p154 soit un nombre premier ?
Aussi, martizic, pourrais tu nous donner les 4 premières questions
... ce qui revient un peu à ce qu'à écrit LeHibou.
Je n'avais pas vu sa seconde intervention. Désolé.
-> rry3 :
On peut écrire :
A = (p14-1) +... +(p154-1) + 15
Sachant que d'après les 4 premières questions tous les pi4-1 sont divisibles par 240 donc à fortiori par 15, on en déduit qe A est divisible par 15, et donc non premier.
1) Montrer que p est congru à −1 ou à 1 modulo 3. En déduire que n est divisible par 3.
2) En remarquant que p est impair, prouver qu'il existe un entier naturel k tel que p2 − 1 = 4k(k + 1), puis que n est divisible par 16.
3) En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n.
4) Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
Voici les 4 questions precedentes. Voulez-vous egalement mes reponses?
bonjour
oui martizic
je pense que tu n'as pas lu ceci : 
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
Desole... je n'avais pas mis les questions et reponses precedentes car je pensais que la derniere question n'avait pas de rapport avec les autres.
1) 3 ne divise pas 7 car 7 est premier. Ainsi les seuls restes de la division euclidienne de 7 par possibles sont -1 ou 1.
Si p=1 mod(3) alors p^4-1=0 mod(3) donc 3/n
Si p=-1 mod(3) alors p^4-1=0 mod(3) donc 3/n
donc 3 divise n.
2) p étant impair donc il existe k tel que: p=2k+1
p²-1=(p-1)(p+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k.2(k+1)=4k(k+1)
comme k et k+1 sont deux entiers qui se suivent l'un deux est pair. donc il exite k' tel que:
k(k+1)=2k'
donc p²-1=8k'
comme p est impair donc p² est aussi impair
donc p²+1 est pair. Donc il existe k" tel que p²+1=2k"
n=p^4 - 1=(p²-1)(p²+1)=(8k')(2k")=16k'k"
donc 16 divise n.
3) les restes possibles de p par 5 sont : 1,2,3 et 4.
car 5 ne divise par p (p premier p>7).
si p=1 mod (5) alors p^4-1=0 mod(5) donc 5 divise n.
si p=2 mod (5) alors p^4-1=16-1=15=0 mod(5) donc 5 divise n.
si p=3 mod (5) alors p^4-1=81-1=80=0 mod(5) donc 5 divise n.
si p=4 mod (5) alors p^4-1=256-1=255=0 mod(5) donc 5 divise n.
donc dans tous les cas 5 divise n.
4)240= 3 * 16 * 5
5, 16 et 3 sont premiers entre eux donc 3 * 16 * 5 divisent n; d'après
donc 240 divise n.
Voici mes reponses.
Citation :
Calcule 1 + 2 + 3 +... + 15, et rapproche le résultat de ce que tu as montré précédemment.
Calcule 1 + 2 + 3 +... + 15, et rapproche le résultat de ce que tu as montré précédemment.
1+2+3+4+5+...+15 = 120
Or dans la 4 nous avons prouver que 240 divise n.
240 = 120 * 2
Je ne sais pas s'il y a un lien avec ce que je viens de dire dans la 5) ou pas dutout.