Je me jette à l'eau. D'autres me corrigeront si je dis des bêtises.
Pour moi, il y a eu inversion :

∀x ∈ R, ∀ε > 0, (x ≤ ε ⇒ x ≤ 0). Faux contre-exemple : si x=1, ε=1

∀x ∈ R, (∀ε > 0, x ≤ ε) ⇒ x ≤ 0. Vraie, si x>0, on peut prendre ε=x/2 et on aurait ε ≤ x.

salut

moi j'aurai été d'accord :

dans la première dépend de x : quand je choisis je lui impose (en plus d'être strictement positif) d'être supérieur à x : cela peut se faire indépendamment de la valeur de x donc pour toute valeur de x

pour tout réel x je peux évidemment trouver un réel qui est strictement positif et plus grand que x donc la conclusion est fausse donc l'implication est fausse


la deuxième peut encore s'écrire :

quel que soit le réel x que je me donne et quel que soit le réel strictement positif que je me donne : si j'ai x c'est que mon réel x que j'ai choisis est négatif

ce me semble-t-il ...



la première peut s'écrire :

Tu ne m'as pas convaincu, et je reste sur ma proposition.
Mais je ne suis pas 100% convaincu.

Je tente. Ce qui se joue se passant au niveau des parenthèses, on peut se fixer un x quelconque dès le départ (je trouve que ça permet d'y voir plus clair). Car c'est surtout l'implication qu'on prétend qui diffère du coup. Je vais essayer de l'écrire le plus possible en français vu que c'est qu'une question de langage.

Soit x un réel quelconque.

La première assertion revient à dire : si on prend n'importe quel strictement positif et supérieur ou égal à x, alors x est négatif ou nul.

La deuxième assertion revient elle à dire que : pour l'intégralité des positif strictement, si majore x alors, x est positif ou nul.

Je trouve que dit comme ça on comprend mieux le problème.

Bonjour,
Oui, c'est plus clair ainsi.
Et je vois aussi une inversion des deux lignes comme dit par ty59847.

Bonjour,

Les quantificateurs s'appliquent me semble-t-il à ce qui est à l'intérieur des  parenthèses.
Pour la première assertion, on commence par choisir un x quelconque dans , puis un   quelconque, mais plus grand que cet x là. On ne peut rien en déduire sur x, sauf qu'il est justement quelconque dans ...

Elle est donc fausse.

Par contre dans la seconde on assigne à x d'être quelconque parmi les réels inférieurs à un arbitraire positif.

Je rejoins le point de vue de  carpediem

En fait je crois que l'énoncé est correct mais que c'est le prof, qui s'est embrouillé en corrigeant.

∀x ∈ R, ∀ε > 0, (x ≤ ε ⇒ x ≤ 0)
est faux parce que si x = 1/2 et ε = 1, on a bien x ≤ ε mais pas x ≤ 0


∀x ∈ R, (∀ε > 0, x ≤ ε) ⇒ x ≤ 0
est vrai parce qu'on peut appliquer cela à ε = 1/n pour tout n et faire tendre n vers l'infini. Ou bien plus directement, appliquer la caractérisation epsilonesque de l'inf. On est en train de dire que x est un minorant de n'importe quel ε > 0. Or, 0 en est un autre, et c'est le plus grand des minorants en tant qu'inf de donc x lui est inférieur ou égal.

Ulmière,
Tu dis que l'énoncé est correct, mais ensuite, tu reprends ma variante de l'énoncé, et pas l'énoncé lui-même.

Et donc l'énoncé serait faux.

Je voulais dire que l'énoncé est probablement comme arual170400 a écrit, mais que le prof a corrigé la version que tu as donnée

Bonjour je viens de lire tout vos messages et je vous en remercie énormément mais je me suis complètement embrouillée à vrai dire x).

L'énoncé est écrit correctement j'ai vérifié et la correction a été donnée en TD par notre prof et nous avons le même résultat sur le corrigé fait par notre prof de CM.
Je pense que je vais partir sur les explications de carpediem qui me semble plus claires. Mais en soit je n'ai toujours pas vraiment comprises cette notion.
Par exemple ici je ne sais pas comment faire :
Véracité des des propositions :
∀x ∈ R, (∀ε > 0, |x| ≤ ε) ⇒ x = 0.
∀x ∈ R, ∀ε > 0, (|x| ≤ ε ⇒ x = 0).

Je vous remercie encore pour toutes vos réponses

prenons la deuxième qui s'écrit encore "rigoureusement" :  

et même "plus rigoureusement"  

RAP :

Bonjour

Je réponds au dernier poste. Pour comprendre, le mieux est de se l'expliciter dans ses propres mots à haute voix.

Le premier: Pour un x quelconque, si pour tout ,
on a , alors x=0. C'est vrai, car si on avait , en prenant, par exemple, , on aurait un qui ne vérifie pas l'hypothèse.

Le deuxième: Pour x et , quelconques, si , alors . Ceci est trivialement faux, il n'y a qu'à prendre , on a bien mais

Bon super, je viens de recevoir un mail de mon prof qui me dit qu'en fait il y'a une erreur il se sont trompés, la 1ère affirmation est vraie et la 2ème est fausse, il m'a dit que les preuves étaient les même mais qu'il fallait juste inversé les 2 réponses donc la réponse du 2 pour la 1 et la 1 pour la 2 voilàaa c'est très cool.
Non sérieux je vais passer à autre chose merci encore