Bonsoir,
je ne vois pas vraiment de preuve élémentaire.
En particulier je ne crois pas que l'on puisse facilement exhiber un polynôme ayant pour racine la somme ou le produit de deux algébriques.
Pour commencer tu peux chercher à prouver que la somme ( le produit ) d'un rationnel et d'un algébrique est un algébrique.

Il faut quand même remarquer que la théorie des corps permet de répondre sans évoquer les groupes de Galois.
En particulier si tu sais que si P est un polynôme irréductible sur un corps K alors K[X]/P est un corps.

Bonjour,

même plus généralement, ce sont des résultats pour des éléments "entiers" sur un anneau. Une bonne référence (par exemple) en anglais serait “Introduction to Commutative Algebra” de M.F. Atiyah et I.G. MacDonald, section 5 “Integral dependence and valuations”.

Je complète la réponse de verdurin. Si je traduis la Proposition 5.1 en français et pour les extensions de corps, tu obtiens pour une extension de corps et que les conditions suivantes sont équivalentes :

- x est algébrique sur K,
- la K-sous-algèbre est de dimension finie,
- la K-sous-algèbre est contenue dans une K-sous-algèbre de dimension finie,
- il existe un K[x]-module M fidèle de dimension finie en tant que K-espace vectoriel.

Maintenant si x,y sont algébriques sur K, on en déduit que x+y et xy le sont aussi en considérant cette proposition et la K-algèbre K[x,y].

salut

et pour compléter encore :

voir :  

en particulier on peut penser naïvement que :

si x est algébrique sur K et si y est algébrique sur K[x] alors y est algébrique sur K

donc (raccourci trop rapide ?) x + y et xy sont algébriques sur K