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Nombres Complexes 2

Posté par
Mathes1 03-03-21 à 00:03

Bonsoir à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit a et b deux nombres réels quelconques.
Montrer que :
•e^{ia}+e^{ib}=2 cos (\dfrac{a-b}{2})e^{i(\dfrac{a-b}{2})}
•e^{ia}-e^{ib}=2sin (\dfrac{a-b}{2})e^{i\left( \dfrac{a+b}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)}
Donc Je vous propose :
eia+eib=cos a +i sin a +cos b +i sin b
=cos a + cos b +i( sin a + sin b )
Est ce que je dois calculer le module

Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 00:36

Bonsoir,

je crois qu'il y a un problème dans l'énoncé

e^{ia}+e^{ib}=e^{\dfrac{i(a+b)}{2}}\left[....+....]\right

e^{ia}-e^{ib}=e^{\dfrac{i(a-b)}{2}}\left[....+....]\right

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 00:39

oups mauvais copié collé

e^{ia}-e^{ib}=e^{\dfrac{i(a-b)}{2}}\left[....\textcolor{red}{-}....]\right

Posté par
Mathes1re : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 19:21

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
J'ai fait
eia+eib=cos a +i sin a +cos b +i sin b
=cos a + cos b +i( sin a + sin b )
= 2 cos \left(\dfrac{a+b}{2} \right)cos\left(\dfrac{a-b}{2} \right)+i2 sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right)sin \left(\dfrac{a-b}{2} \right)=2\left(cos \left(\dfrac{a+b}{2} \right)cos\left(\dfrac{a-b}{2} \right)+i sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right)sin \left(\dfrac{a-b}{2} \right)\right)
Ensuite je ne sais pas franchement quoi faire , une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 20:22

salut

revois tes formules :

cos a + cos b et sin a + sin b ...

enfin pourquoi ne pas travailler avec les exponentielles directement :

je pose u = (a +b)/2 et v = (a - b)/2

alors u + v = a et u - v = b

donc e^{ia} + e^{ib} = e^{i(u + v)} + e^{i(u - v)} = ...

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 20:26

tu n'aimes pas ma méthode elle est pourtant très utilisée

développe plutôt le 2d membre mais attention dans la 1ere formule il y a une erreur

\large e^{ia}+e^{ib}=2\,cos (\dfrac{a\textcolor{red}{+}b}{2})e^{i(\dfrac{a-b}{2})}

Posté par
Mathes1re : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 20:43

Bonjour
Merci beaucoup à vous  deux pour vos réponses !
La question c'est montrer que  et non vérifiée que malheureusement
Donc j'ai obligé de commencer par le premier membre
•e^{ia}+e^{ib}=2\left(cos \left(\dfrac{a+b}{2} \right)cos\left(\dfrac{a-b}{2} \right)+i sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right)\red{cos} \left(\dfrac{a-b}{2} \right)\right)=2cos\left( \dfrac{a-b}{2}\right)\left( \red{cos\left(\dfrac{a+b}{2} \right)+i sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right)}\right)
=\boxed{{\color{red}{\huge =2cos\left(\dfrac{a-b}{2} \right)e^{i\left(\dfrac{a+b}{2} \right)}}}}
J'ai utilisé les relations de la trigonométrie
cos a  + cos b=2cos(\dfrac{a+b}{2})cos\left(\dfrac{a-b}{2} \right)

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 20:45

m.... je me suis trompé en recopiant; en plus je n'ai pas remarqué l'erreur dans le développement

dans la 1ere formule il y a une erreur

\large e^{ia}+e^{ib}=2\,cos (\dfrac{a-b}{2})e^{i(\dfrac{a\textcolor{red}{+}b}{2})}

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 20:49

je n'avais pas vu ton post!!

n'oublie quand même pas la technique de l'angle moitié qui est très utilisée

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 21:02

attention quand même que a et b étant quelconques, tu dois t'assurer que le module est positif

Posté par
Mathes1re : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 21:11

D'accord merci beaucoup pour la méthode de l'angle moitié
Pour la deuxième :
•e^{ia}-e^{ib}=cos a +i sin a - cos b -i sin b =cos a - cos b +i(sin a - sin b) =-2 sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right) sin \left(\dfrac{a-b}{2} \right)+i(2cos\left(\dfrac{a+b}{2} \right) sin (\dfrac{a-b}{2}))
=2 sin (\dfrac{a-b}{2}) \left( -sin \left(\dfrac{a+b}{2} \right)+icos\left(\dfrac{a+b}{2} \right) \right)
On sait que :
sin -x=- sin x
Cos -x= cos x
Donc :
= 2sin (\dfrac{a-b}{2})\left( sin \left(-\dfrac{a+b}{2} \right)+icos\left(-\dfrac{a+b}{2} \right)\right)
On a
sin a + i cos a =cos \left(\dfrac{\pi}{2} -a\right)+isin \left(\dfrac{\pi}{2} -a\right)
Donc
=2sin (\dfrac{a-b}{2})\left( cos\left(\dfrac{a+b}{2} +\dfrac{\pi}{2}\right)+isin\left( \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a+b}{2}\right)\right))=2sin \frac{}{}
2sin (\dfrac{a-b}{2})\left( cos\left(\dfrac{a+b}{2} +\dfrac{\pi}{2}\right)+isin\left( \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a+b}{2}\right)\right))
=\boxed{{\color{red}{\huge 2sin (\dfrac{a-b}{2})e^{i\left( \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a+b}{2}\right)}}}}

Posté par
carpediemre : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 21:31

il n'est pas question de parler de module ici ...

on te demande simplement de montrer une identité remarquable

et c'est seulement si on te demande si le second membre est la forme exponentielle qu'il faudra comme le dit Pirho la positivité  du facteur réel ...

Mathes1 @ 03-03-2021 à 20:43

La question c'est montrer que  et non vérifier que malheureusement
Donc j'ai obligé de commencer par le premier membre
pas du tout !! et je ne ne vois aucune différence ...

une égalité se lit de gauche à droite autant que de droite à gauche !!!

Posté par
Pirhore : Nombres Complexes 2 03-03-21 à 21:35

à part un 2 sin qui se balade à droite dans la ligne qui suit le donc; ça me paraît juste


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