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Nombres complexes

Posté par Samantha (invité) 13-12-04 à 21:24

Bonsoir à tous,
Voilà je bloque sur un exo pourriez-vous m'aider?

Soit z=(1-racine[3])+i(1+racine[3])
calculez z² puis déterminez le module et un argument de z².
en déduire le module et un argument de z

Alors selon la formule (a+bi)²=a²-b²+2abi, j'ai calculé z² et j'ai trouvé:
z²= -2(racine[3]+racine[3])-4i

j'ai ensuite calculé le module et trouvé 8

mais je coince pour l'argument,
d'après arg z²= 2 arg z
j'ai calculé arg z = [2]racine[2]
mais déjà ça va pas parce que là je réponds à la dernière question, enfin, j'arrive à la fin à:
arg z = arg ((1-racine[3])+(1+racine[3]i)
alors cos= (1-racine[3])/[2]racine[2]
et sin = (1+racine[3])/[2]racine[2]
mais je ne trouve pas l'angle correspondant!

Voilà une petite aide serait la bienvenue, merci

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 21:31

Je n'ai pas du tout trouvé le même z² que toi, regarde tes calculs, la partie réelle devrait disparaître.

Puis il ne faut pas oublier qu'une multiplication en complexes peut être vu comme une rotation. Si tu mets les nombres complexes sous la forme z=re^{i\phi} ça se voit bien...

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 21:33

Par exemple z^2=(re^{i\phi})^2=r^2e^{i2\phi}

Posté par Samantha (invité)re : Nombres complexes 13-12-04 à 21:38

merci de ta réponse, je reprends tout:
z²= a² - b² + 2abi
    (1+racine3)² - (1+racine3)² + 2*(1-rac3)*(1+rac3)i
    1 -2rac3 +3 -1 -2rac3 -3 +2(1-3)i
    -2rac3 -2rac3 -4i

suis désolée je vois pas où est mon erreur

Posté par Samantha (invité)re : Nombres complexes 13-12-04 à 21:43

merci pour ta réponse, le temps que j'écrive mon message, le tien n'était encore pas arrivé!

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 21:47

(1+\sqrt{3})^2-(1+\sqrt{3})^2 ne devrait pas faire 0 ????? Après tu fais une faute de signe alors qu'il n'y avait même pas besoin de développer!

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 21:52

Et si jamais je crois que tu n'as pas vu une simplification qu'il y aurait eu si ta réponse avait été juste...
\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}

Posté par Samantha (invité)re : Nombres complexes 13-12-04 à 21:54

désolée je me suis trompée, ça fait si je développe:
(1-rac3)² - (1+rac3)² + 2(1-rac3)(1+rac3)i
et là (1-rac3)² - (1+rac3) different de 0

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 22:01

Non, désolée, je viens de voir que t'as fait une erreur de frappe je pense et que je t'ai suivie. Je recommence

z^2=(1-\sqrt{3})^2-(1-\sqrt{3})^2+2(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})i

z^2=1-2\sqrt{3}+3-(1-2\sqrt{3}+3)+2i(1-3)=-4i

J'espère que ça aille mieux.

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 22:02

Non, toujours pas, j'aurais du relire. Je reposte de suite.

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 22:13

z^2=(1-\sqrt{3})^2-(1+\sqrt{3})^2+2(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})i

z^2=(1-2\sqrt{3}+3)-(1+2\sqrt{3}+3)+2(1-3)=-4i

z^2=-4\sqrt{3}-4i

Tu avais bien raison dans ton premier post, c'est moi qui est fait une faute de signe. Désolée!

Ok, maintenant quel est l'angle de z²? Si tu dessines un repère orthonormé t'as le point (-4,-4)

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 13-12-04 à 22:14

Non, ça va pas du tout! J'abandonne, je suis fatiguée, je n'écris que des bêtises, j'appelle un correcteur!

Posté par Samantha (invité)re : Nombres complexes 13-12-04 à 22:20

merci d'avoir essayé et bonne soirée

Posté par
isisstruissre : Nombres complexes 14-12-04 à 06:58

Salut Samantha!

Je m'excuse pour hier soir. Je faisais mes brouillons sur une feuille avec plein d'autres annotations, je tapais sans vérifier mes calcules et même en relisant mes messages il y avait toujours des erreurs qui passaient. Une bomne nuit de sommeil a pu me remettre en forme et dorénavant je veillerai à travailler sur une feuille propre et ne pas dire des bêtises parce que là je ne t'ai pas du tout aidée! Je m'excuse encore, j'espère plus jamais faire une erreur pareille.

Voilà ton exercice que j'ai refait ce matin avec la tête au clair.
z^2=-4\sqrt{3}-4i
Tu avais vu juste, bravo! (Contrairement à moi! )
|z^2|=\sqrt{16*3+16}=8
\frac{z^2}{|z^2|}=\frac{-4\sqrt{3}-4i}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

Maintenant pour trouver l'argument, il faut trouver un angle \phi tel que
\cos\phi=-\frac{\sqrt{3}}{2} et \sin\phi=-\frac{1}{2}
Tu peux choisir par exemple \frac{7}{6}\pi ou -\frac{5}{6}\pi selon si tu travailles dans [0,2\pi] ou dans [-\pi,\pi]

Pour trouver le module de z il suffit de prendre la racine du module de z² et on trouve |z|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
Pour trouver l'argument de z, il suffit de prendre la moitié de l'argument de z² et on trouve arg(z)=-\frac{5}{12}\pi.

Tout ceci grâce à mon seul post d'hier qui était juste:
(re^{i\phi})^2=r^2e^{i2\phi}

Désolée encore pour hier, j'espère que j'ai réparé un peu les dégâts que j'ai causé. J'aurais mieux fait de m'abstenir.

Bon courage pour la suite, Isis.

Posté par Samantha (invité)re : Nombres complexes 14-12-04 à 07:16

MERCI isisstruiss!!!
Et c'est vraiment pas grave pour hier soir


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