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nombres complexes
Voila un petit exo :
1. f est la fonction définie sur 
par:
f(x)=x3+5x²+5x+4.
Calculez f(-4) et deduisez-en que -4 est l'unique solution réelle de l'équation.
2. On pose:
P(z)=2z4+(10-i)z3+(10-5i)z²+(8-5i)z-4i
a) L'équation P(z)=0 admet une solution réelle, et une seule: trouvez-la, en utilisant le 1.
il y a une suite mais je m'en sortirait si vous m'aidez jusque-là.
1)
f(-4) = 0
-> x³+5x²+5x+4 est divisible par (x+4)
On fait cette division et on trouve:
f(x) = (x+4)(x²+x+1)
Donc f(x) = 0 pour x = -4 ou pour x²+x+1 = 0
mais le discriminant de x²+x+1 = 0 est négatif -> x²+x+1 a, pour tout x, le signe de son coefficient en x², soit positif (Donc x²+x+1 n'est jamais = 0).
f(x) = 0 a donc une et une seule solution réelle , cette solution est -4.
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2)
Si P(z) admet une solution réelle, soit x cette solution, on a alors:
P(x) = 0 ->
2x^4+(10-i)x³+(10-5i)x²+(8-5i)x-4i = 0
2x^4 + 10x³ -ix³ + 10x²-5ix²+8x-5ix-4i = 0
2x^4 + 10x³ + 10x²+8x - i(x³+5x²+5x+4) = 0
2x.(x³+5x²+5x+4) - i(x³+5x²+5x+4) = 0
Il faut donc que x³+5x²+5x+4 = 0
Et donc, par la partie 1 de l'exercice, x = -4 est la solution réelle de P(z) = 0
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Sauf distraction. 
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