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Nombres complexes

Posté par Jade (invité) 20-12-04 à 18:13

Bonjour,
Est-ce quelqu'un peut m'aider à déterminer géométriquement l'ensemble des points M du plan complexe dont l'affixe z vérifie la solution donnée

Avec le module

rac 2 *|z+1| = |(1+i)*z - 4|

Je vous remercie par avance

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Nombres complexes 20-12-04 à 18:33

V2.|z+1| = |(1+i).z - 4|  (avec V pour racine carrée).

z = x + iy

V2.|x+1+iy| = |(1+i).(x+iy) - 4|

V2.|x+1+iy| = |x+iy +ix-y - 4|

V2.|x+1+iy| = |x-y-4+i(x+y)|

2.|x+1+iy|² = |x-y-4+i(x+y)|²

2[(x+1)²+y²] = (x-y-4)²+(x+y)²

2(x²+2x+1+y²) = x²+y²+16-2xy-8x+8y+x²+y²+2xy

2x²+4x+2+2y² = 2x²+2y²+16-8x+8y

4x+2 = 16-8x+8y

8y = 12x - 14

y = (3/2)x - (7/4)

L'ensemble des points M du plan ... est donc constitué des points de la droite d'équation y = (3/2)x - (7/4)
-----
Sauf distraction.  


Posté par
watik
re : Nombres complexes 21-12-04 à 10:19

bonjour Jade

en complément de la solution de Monsieur J-P, remarquez que;

|1+i|=rac(2).

Cela donne l'intuition qu'il faut factoriser le terme (1+i) pour simplifier par la suite par rac(2).

remarquez ce calcul:

(1+i)*z - 4=(1+i)(z - 4/(1+i))
           =(1+i)(z-4(1-i)/2)
           =(1+i)(z-2(1-i))

donc

|(1+i)*z - 4|=|(1+i)(z-2(1-i))|
             =|1+i|.|z-2(1-i)|
             =rac(2)|z-2(1-i)|

donc
rac(2)*|z+1| = |(1+i)*z - 4| ssi rac(2)*|z+1| = rac(2)|z-2(1-i)|
                             ssi |z+1| = |z-2(1-i)|

si vous appelez maintenant les point A d'affixe (a=-1) et B d'affixe (b=2(1-i))

alors |z-a| = |z-b|

vous reconnaissez alors que  l'ensemble solution est la médiatrices des deux points A et B dont l'équation est celle que vous amontrée Monsieur J-P.

voila
bon courage







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