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nombres complexes
Bonjour,
Je prépare actuellement le concours de technicien supérieur de l'equipement. petit problème, l'épreuve de mathématiques est basée sur le programme de terminale S et j'ai un bac littéraire!
J'ai réussi à récupérer quelques cours, et les annales du concours, mais j'ai vraiment du mal!
est-ce que quelqu'un pourrait essayer de m'expliquer l'exercice suivant :
désigne l'ensemble des nombres complexes.
le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O,
,
) d'unité graphique : 2cm.
on considère les nombres complexes suivants :
z[/sub]1 = 2 + 
3 + i
z[sub]2 = 2 + 3 - i
1°)a) Calculer z[/sub]1+z[sub]2 et z[/sub]1 z[sub]2.
b) Déterminer les réels b et c tels que z[/sub]1 et z[sub]2 soient solutions, dans , de l'équation d'inconnue z :
z[sup][/sup]2 + bz+ c = 0
2°)a)donner la forme algébrique de z[/sub]2/z[sub]1. on montrera que z[/sub]2/z[sub]1 = 3/2 - (1/2)i
b) déterminer le module et argument de z[/sub]2/z[sub]1
3°)a) placer dans le repèe (O, , ) le point A d'affixe z[/sub]1 et le point B d'affixe z[sub]2
b)déduire de la question 2°)b), l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B
4°)a) Déterminer l'affixe z[sub][/sub]3 du point C milieu du segment [AB]
b)quelle est la nature du triagle OCA?
5°)a) Calculer les longueurs OC et OA
b)déduire des résultats précédents que
cos
/12 = [ (2+3) ] / 2
merci d'avance
1°)
a)
z1 + z2 = 2 + V3 + i + 2 + V3 - i
z1 + z2 = 4 + 2V3
z1.Z2 = (2+V3 + i).(2+V3 - i)
z1.z2 = 4 + 2V3 - 2i + 2V3 + 3 -V3.i + 2i + V3.i + 1
z1.z2 = 8 + 4V3
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b)
Si z1 et z2 sont solutions de z²+bz+c = 0, on a:
z²+bz+c = (z-z1).(z-z2)
z²+bz+c = z² - z(z1+z2) + z1z2
et avec la partie a de l'exercice ->
z²+bz+c = z² -(4 + 2V3)z + (8 + 4V3)
En identifiant les 2 membres, on a directement:
b = -(4 + 2V3)
et
c = 8 + 4V3
-----
2°)
|z1| = V[(2+V3)²+1] = V(4+4V3+3+1)
|Z1| = V(8+4V3) = 2.V(2+V3)
z1 = 2.V(2+V3).[(2+V3)/(2.V(2+V3)) + i. 1/(2.V(2+V3))]
z1 = 2.V(2+V3).[V(2+V3)/2 + i. 1/(2.V(2+V3))]
z1 = 2.V(2+V3).[cos(Pi/12) + i.sin(Pi/12)]
|z2| = V[(2+V3)²+1] = V(4+4V3+3+1)
|Z2| = V(8+4V3) = 2.V(2+V3)
z2 = 2.V(2+V3).[(2+V3)/(2.V(2+V3)) - i. 1/(2.V(2+V3))]
z2 = 2.V(2+V3).[V(2+V3)/2 - i. 1/(2.V(2+V3))]
z2 = 2.V(2+V3).[cos(-Pi/12) + i.sin(-Pi/12)]
|z2/z1| = |z2|/|z1| = 2.V(2+V3)/(2.V(2+V3)) = 1
arg(z2/z1) = arg(z2) - arg(z1) = -Pi/12 - Pi/12 = -Pi/6
z2/z1 = cos(-Pi/6) + i.sin(-Pi/6)
z2/z1 = (V3)/2 - (1/2).i
---
Autre manière de faire:
z2/z1 = (2+V3 - i)/(2+V3 +i)
z2/z1 = (2+V3 - i)(2+V3-i)/[(2+V3 +i)(2+V3 -i)]
z2/z1 = ((2+V3)² -2i(2+V3)- 1)/[(2+V3)² +1)]
z2/z1 = (4+4V3+3 -2i(2+V3)- 1)/(4+4V3+3 +1)
z2/z1 = (6+4V3-2i(2+V3))/(8+4V3)
z2/z1 = (6+4V3-2i(2+V3))/[4(2+V3)]
Or (6+4V3)/(4(2+V3)) = (V3)/2
En effet: (6+4V3).2 =? V3.4.(2+V3)
12+8V3 =? 8V3+12 -> OK
z2/z1 = (6+4V3)/[4(2+V3)] - i/2
z2/z1 = ((V3)/2) - i/2
|z2/z1| = V(((V3)/2)² + (1/4))
|z2/z1| = V((3/4) + (1/4)) = V(1) = 1
z2/z1 = cos(theta) + i.sin(theta)
->
cos(theta) = ((V3)/2)
sin(theta) = -1/2
-> theta = -Pi/6
arg(z2/z1) = -Pi/6
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3°)
a)
Le dessin est pour toi.
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b) l'angle est -Pi/6
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4°)
a)
L'affixe z3 du milieu de A et B est donnée par (z1+z2)/2
z3 = (4 + 2V3)/2
z3 = 2 + V3
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b)
Sur le dessin ->
Le triangle OCA est rectangle en C.
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5°)
|OC| = 2 + V3
|OA| = |z1| = 2.V(2+V3)
Dans le triangle OCA rectangle en C, on a:
OC = OA.cos(COA)
2 + V3 = 2.V(2+V3).cos(Pi/12)
cos(Pi/12) = (1/2).V(2+V3)
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Sauf distraction. 
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