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Nombres complexes 3

Posté par
Samsco 16-04-20 à 16:05

Bonjour à tous , j'ai besoin de votre aide svp pour mon exo

Exercice :

Pour tout z≠1 , on pose z'=\dfrac{|z-1|}{|\bar z -1|}, et on appelle A , B , M et M' les points d'affixes respectives 1 , -1 , z et z' dans le repère orthonormé (O ; \vec{u} ; \vec{v} ).

a) Comarer |z-1| et |\bar z -1| et en deduire |z'| . Traduire géométriquement ce résultat pour le point M'.

b) Calculer en fonction z et z' le complexe r=\dfrac{z'+1}{z-1} et en déduire que r est un réel .

c) Montrer que les vecteurs \vec{AM} et \vec{BM'} sont colinéaire.

d) Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de M' connaissant M . Faire une figure.

Réponses:

a) |z-1|=|\bar{z-1}|=|\bar z - 1| \\ |z-1|=|\bar z -1| \\ \\ |z'|=\dfrac{|z-1|}{|z'-1|}=\dfrac{|z-1|}{|z-1|}=1
Donc OM'=1 , l'ensemble des points M' est le cercle de centre O et de rayon 1.

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:07

z'=\dfrac{|z-1|}{|\mathbf{\red{\bar z}} -1|}=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:16

Bonjour,
Les points M' sont sur le cercle de centre O et de rayon 1.
Mais pour leur ensemble, ce n'est peut-être pas le cercle entier.
Donc se contenter de "sont sur" ou "appartiennent au".

Citation :
Calculer en fonction z et z' le complexe r=\dfrac{z'+1}{z-1}
La question est mal posée car r est déjà écrit en fonction de z et z'.
Il faut transformer l'expression de r.

Tu as une autre coquille dans ton 2nd message. Mais ce n'est pas grave

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:23

Par contre, il me semble qu'avec z = i on ne trouve pas un r réel.
Chercher l'erreur d'énoncé ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:25

Oups
Message de 16h23 à oublier...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:29

En fait, c'est z' qui me semble faux dans l'énoncé.

z'=\dfrac{z-1}{\bar z -1} ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:32

Et dans b), calculer en fonction de \; z \; et \; \bar{z} .

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:37

Sylvieg @ 16-04-2020 à 16:29

En fait, c'est z' qui me semble faux dans l'énoncé.

z'=\dfrac{z-1}{\bar z -1} ?

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:37

Oui

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:39

Sylvieg @ 16-04-2020 à 16:32

Et dans b), calculer en fonction de \; z \; et \; \bar{z} .

Oui c'est ça

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:41

C'est légèrement agaçant

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:49

\Large r=\dfrac{z'+1}{z-1}=\dfrac{\frac{z-1}{\bar z -1}+1}{z-1}=\dfrac{1}{\bar z -1}+\dfrac{1}{z-1}=\dfrac{z+\bar z -2}{(z-1)(\bar z -1)}=\dfrac{2Re(z)-2}{(z-1)(\bar z -1)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 16:52

Oui.
Le numérateur est réel.
Que penses-tu du dénominateur ?

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 17:05

r=\dfrac{2Re(z)-2}{(z-1)(\bar{z-1})}=\dfrac{2Re(z)-2}{|(z-1)(\bar{z-1})|²}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 17:18

Il y a un carré de trop : (z-1)(\bar{z-1}) = |z-1|^2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 17:19

Ou plutôt un facteur de trop.

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 21:10

r=\dfrac{2Re(z)-2}{|z-1|²}

Le numérateur 2Re(z)-2 est réel et le dénominateur |z-1|² est réel donc r est réel

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 21:32

c)
r=\dfrac{z'+1}{z-1}\iff z'+1=r(z-1) \\ \\ \iff \vec{BM'}=r\vec{AM}

Donc \vec{BM'} et \vec{AM} sont colinéaires

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 3 16-04-20 à 22:57

Oui.
Une remarque : Pour r réel, tu aurais pu t'arrêter à
\Large r=\dfrac{z'+1}{z-1}=\dfrac{\frac{z-1}{\bar z -1}+1}{z-1}=\dfrac{1}{\bar z -1}+\dfrac{1}{z-1} \; .
Car tu avais la somme de 2 complexes conjugués.

Posté par
Samscore : Nombres complexes 3 16-04-20 à 23:02

Ah ok


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