Bonjour aidez moi svp c'est pour vendredi
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,vecteur u, vecteur v)
On désigne: par A et B les points d'affixes respectives -i et 2i
par P* l'ensemble des points de P distincts de A
Soit f l'application de P* dans P qui à tout point M daffixe z associe le point f(M) d'affixe Z telle que:
Z=i(z-2i/z+i)
1a)Soit M1 le point d'affixe i,soit M2 le point d'affixe (3/2)+(1/2)i
déterminer f(M1) et f(M2)
b)déterminer: le point M de P* tel que f(M)= 0
le point M de P* tel que f(M)=N où N est le point d'affixe 2-i
2)Déterminer:
a)l'ensemble E des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur
b)l'ensemble F des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre réel
c)l'ensemble G des points M de P* dont les images appartiennent au cercle de centre O de rayon 1
aidez moi svp je n'ai rien compris expliquez moi les démarches svp
pour la question 1a il faut remplacer dans Z?
aidez moi svp c'est important svp
Salut,
1) a)oui il faut calculer f(M1) et f(M2), pour cela calculer Z quand z=z1 et z=z2.
b) il suffit de résoudre Z=0
2) ecris z=x+iy et Z=X+iY
et exprimes X et Y en fonction de x et y.
a) il faut résoudre X = 0 (et donc on obtient une équation de y en fonction de x...)
b) Y=0
c) tu veux que |Z|=1
....il faut trouver les conditions sur z.
1a)
M1: z = i
f(M1): C'est Z=i((z-2i)/(z+i)) dans laquelle on remplace z par i ->
f(M1): Z = i((i-2i) / (i+i)) = i.(-i)/(2i) = i.(-1/2) = -i/2
M2: z = (3/2)+(1/2)i
f(M2): C'est Z=i((z-2i)/(z+i)) dans laquelle on remplace z par (3/2)+(1/2)i ->
f(M2): Z =i(((3/2)+(1/2)i-2i)/((3/2)+(1/2)i+i))
f(M2): Z =i(((3/2)-(3/2)i)/((3/2)+(3/2)i)
f(M2): Z =i(1-i)/(1+i)
f(M2): Z =i(1-i)(1-i)/[(1+i)(1-i)]
f(M2): Z =i(1-1-2i)/2
f(M2): Z = i.(-i)
f(M2): Z = 1
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b)
f(M) = 0
i((z-2i)/(z+i)) = 0
z - 2i = 0
z = 2i
Le point M tel que f(M) = 0 a pour affixe z = 2i (c'est le point B).
--
f(M) = N
f(M) : 2-i
i((z-2i)/(z+i)) = 2-i
i(z-2i) = (2-i)(z+i)
iz + 2 = 2z + 2i - iz + 1
z(2-2i) = 1 - 2i
z = (1-2i)/(2-2i)
z = (1-2i)(2+2i)/[(2-2i)(2+2i)]
z = (2-4i+2i+4)/8
z = (6-2i)/8
z = (3/4) - (1/4)i
Le point M tel que f(M) = 2-i a pour affixe z = (3/4) - (1/4)i
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2)
Z=i((z-2i)/(z+i))
a)
Posons z = x+iy
i(z-2i)/(z+i) = i(x+iy-2i)/(x+i(y+1))
i(z-2i)/(z+i) = [(2-y)+ix]/(x+i(y+1))
i(z-2i)/(z+i) = ((2-y)+ix)(x-i(y+1))/[(x+i(y+1)).(x-i(y+1))]
i(z-2i)/(z+i) = [(x(2-y)+x(y+1)+i(x²-(2-y)(y+1))]/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = [(x(2-y+y+1)+i(x²-(2y+2-y²-y))]/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = (3x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
Si imaginaire pur, il faut que la partie réelle soit nulle ->
3x/(x²+(y+1)²) = 0
soit x = 0 mais sans le point pour lequel on aurait x²+(y+1)² = 0 soit le point d'affixe -i (point A)
L'ensemble E inclut tous les points de l'axe des imaginaires à l'exception du point A.
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b)
i(z-2i)/(z+i) = (x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
Si réel pur, il faut que la partie imaginaire soit nulle ->
(x²+y²-y-2)/[(x²+(y+1)²] = 0
soit x²+y²-y-2 = 0 mais sans le point pour lequel on aurait x²+(y+1)² = 0 soit le point d'affixe -i (point A)
x²+y²-y-2 = 0
x² + (y-(1/2))² - (1/4) - 2 = 0
x² + (y-(1/2))² = 9/4
L'ensemble F inclut tous les points du cercle de centre d'affixe (1/2)i et de rayon 3/2 mais le point A étant exclu.
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c)
z = x + iy
i(z-2i)/(z+i) = (3x+i(x²+y²-y-2))/[(x²+(y+1)²]
i(z-2i)/(z+i) = x' + i.y'
avec x' = 3x/[(x²+(y+1)²]
et y' = (x²+y²-y-2)/[(x²+(y+1)²]
et il faut que x'²+y'² = 1
->
[9x² + (x²+y²-y-2)²]/[(x²+(y+1)²]² = 1
9x² + (x²+y²-y-2)² = [x²+(y+1)²]²
9x²+x^4+y^4+y²+4+2x²y²-2x²y-4x²-2y³-4y²+4y = x^4+(y²+2y+1)²+2x²(y²+2y+1)
9x²+x^4+y^4+y²+4+2x²y²-2x²y-4x²-2y³-4y²+4y = x^4+y^4+4y²+1+2x²y²+4x²y+2x²+4y³+2y²+4y
6y³+9y²+6x²y-3x²-3 = 0
2y³+3y²+2x²y-x²-1 = 0
x²(2y-1) = -2y³-3y²+1
x²(2y-1) = (2y-1)(-y²-2y-1)
Soit y = 1/2
Soit x² = -y²-2y-1
x²+y²+2y = -1
x²+(y+1)²-1 = -1
x²+(y+1)² = 0 ce qui n'est possible que pour x = 0 et y = -1, soit l'affixe de A mais c'est interdit.
-> l'ensemble G est constitué des points de la droite d'équation y = 1/2.
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Sauf distraction.
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