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nombres complexes

Posté par bufani (invité) 05-05-05 à 17:55

bonjour
j'ai des difficultés à comprendre la rotation .Pouvez vous m'aider?

Voila mon exercice
dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal(O;u,v) ou considèrent les points A,B,C d'affixes respectives
a=2, b=1-i ,c=1+i
placer les points A,B,C sur une figure.
Calculer (c-a)/(b-a). En déduire que le triangle ABC est isocèle.
On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D=r(C)
soit T le cercle de diamètre [BC].
Déterminer et construire l'image T'du cercle T par la rotation r.

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 05-05-05 à 17:58

slt bufani !


et si tu nous diser ce que tu as fait et ecrivais ce que tu as trouver ?


@+ sur l' _ald_

Posté par bufani (invité)nombres complexes 05-05-05 à 18:21

placer les points A,B,C sur une figure. OK
Calculer (c-a)/(b-a). En déduire que le triangle ABC est isocèle.OK

A partir de là je ne sais plus

Posté par Eos (invité)Nombres complexes 05-05-05 à 18:45

La formule de la rotation est:

zc-za = e^\theta^i \times (zb-za)

Rempaçons par les bonnes valeures:

1+i-2 = e^\theta^i times (1-i-2)
\Longleftrightarrow \frac{-1+i}{-1-i} = e^\theta^i
\Longleftrightarrow -i = e^\theta^i

Donc \theta = \frac{-\pi}{2}

Calculons zd
zd-za = e^\theta^i \times (zc-za)
\Longleftrightarrow zd = e^\theta^i \times (1+i-2) + 2
\Longleftrightarrow zd = -i \times (-1 + i) +2
\Longleftrightarrow zd = i + 1 + 2
\Longleftrightarrow zd = i + 3

Voilà

Posté par bufani (invité)re : nombres complexes 05-05-05 à 19:03

en somme si j'ai bien compris et que j'ai par exemple r la rotation de centre B telle que r(C)=A.
On a
za-zb= e theta i(zc-za)

Posté par bufani (invité)nombres complexes et rotations 05-05-05 à 19:51

en somme si j'ai bien compris et que j'ai par exemple r la rotation de centre B telle que r(C)=A.
On a
za-zb= e theta i(zc-za)

Posté par Eos (invité)Oui, c est ça 06-05-05 à 16:13

Salut bufani,

Oui, c'est tout à fait ça

La règle d'or pour les rotations complexes

Posté par bufani (invité)nombres complexes 06-05-05 à 17:03

lorsque j'ai e^i théta = -i
comme je trouve que théta= -pi/2

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 06-05-05 à 17:18

slt bufani !


je suis d'accord :
3$e^{i\theta}=-i\leftrightarrow\theta=\frac{-\pi}{2}


@+ sur l' _ald_

Posté par bufani (invité)nombres complexes 06-05-05 à 17:27

en réalité ma question est de savoir comment on fait pour démontrer

que lorsque on a e^i théta = -i  ; théta= -pi/2 ?

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 06-05-05 à 17:39

re


place 3$-i dans un graphique et tu comprendra pourquoi 3$\frac{-\pi}{2}


@+ sur l' _ald_

Posté par bufani (invité)nombres complexes 06-05-05 à 17:48

par le calcul est il possible d le démontrer c'est à dire de passer de la forme exponentille à la forme trigonométrique
j'ai essayé de le faire mais apparemment ça ne marche pas
dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal(O;u,v) ou considèrent les points A,B,C d'affixes respectives
a=2, b=1-i ,c=1+i
On appelle r la rotation de centre A telle que r(B)=C.
Déterminer l'angle de r
c=1+i

!zc!=racine carrée [(a)^2+(b)^2]=racine carrée[ (1)^2+(1)^2]=racine carrée 2

cos théta= a/!zc!=1/racine 2=racine 2/2
sin théta= b/!zc!=1/racine 2=racine 2/2

donc je trouve  un angle de pi/4 et non pi/2 pourquoi?

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 06-05-05 à 17:58

re


3$\begin{tabular}e^{i\theta}=-i&\leftrightarrow&\ln(e^{i\theta})=\ln(-i)\\&\leftrightarrow&i\theta=-\frac{\pi}{2}.i\\&\leftrightarrow&\theta=\frac{-\frac{\pi}{2}.i}{i}\\\\&\leftrightarrow&\theta=-\frac{\pi}{2}\end{tabular}


@+ sur l' _ald_

Posté par bufani (invité)re : nombres complexes 06-05-05 à 18:08

Peux tu me l'expliquer  plutôt par la trigonométrie .Merci

Posté par bufani (invité)re : nombres complexes 06-05-05 à 18:08

Peux tu me l'expliquer  plutôt par la trigonométrie .Merci

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 06-05-05 à 18:19

re


3$\rm\begin{tabular}e^{i\theta}=-i&\leftrightarrow&\cos(\theta)+i\sin(\theta)=-i\\&\leftrightarrow&\cos(\theta)+i(\sin(\theta)+1)=0\end{tabular}

3$\rm pour que ce nombre complexe soit egale a 0 il faut que sa partit reele et sa partit imaginaire soit nul soit :

3$\begin{tabular}\.\array{rcl$\cos(\theta)=0\\\sin(\theta)+1=0}\}\\\leftrightarrow\.\array{rcl$\cos(\theta)=0\\\sin(\theta)=-1}\}\\\leftrightarrow\theta=-\frac{\pi}{2}\end{tabular}


@+ sur l' _ald_

Posté par bufani (invité)re : nombres complexes 06-05-05 à 18:22

super c'est ce que je cherchais .Merci à toi.

Posté par
H_aldnoerre : nombres complexes 06-05-05 à 18:23


pas de quoi


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