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nombres complexes
Bonsoir à tous je vous donne l'énoncé de cet exercice que je n'arrive pas à resoudre ; si vous pouviez m'aider s'il vous plait.
On propose de determiner les triplets de complexes (z1 z2 z3 ) solutions du systemes (s)
|z1|=|z2|=|z3|=1
z1+z2+z3=1
z1z2z3=1
1: verifier que le triplet (1 ,i ,-i) est solution de (s) en deduire 5 autres triplets solutions
2: soit (z1 z2 z3)une soltion de (s).
a/ Montrer que z1 z2 et z3 sont non nuls et que 1/z1 +1/z2+1/z3 =1
b/ e, dedire que quel que soit le ocmplexe z (z-z1)(z-z2)(z-z3) = (z-1) (z²+1)
c/ quels sont alors les triplets solutions de (s)
merci d'avance
Bonjour,
vérifier que (1 ,i ,-i) est solution est immédiat.
Du coup tous les triplets obtenus par permutation sont également solutions, ça en rajoute 5.
z1, z2 ou z3 ne peuvent être nuls puisque z1 z2 z3 = 1
Si on prend le conjugué de z1+z2+z3=1 on trouve
Mais puisque |z1|=|z2|=|z3|=1 ça s'écrit
donc et pareil pour les autres et la relation
s'écrit 1/z1 +1/z2+1/z3 =1
Si z1, z2,z3 sont les 3 solutions d'une équation du 3 ième degré alors (z-z1)(z-z2)(z-z3)=0
Donc z3-(z1+z2+z3)z2+(z1z2+z2z3+z3z1)z-z1z2z3=0
En remplaçant : z3-z2+z-1=0 qui se factorise en (z-1)(z²+1)=0
Donc les 3 seules solutions sont celles déjà trouvées (1 ,i ,-i)
pour la 2 : si z1 et z2 sont nuls et z3 non nuls alors ca peut quand même être égale a 1 ex : -1 * -1 * 1 = 1
Ben non, s'ils sont nuls ça fait 0*0*1 = 0 pas 1. Dès qu'il y a un zéro tu peux mettre n'importe quoi pour le multiplier ça fera toujours 0, jamais 1
Est-ce que les triplets sont :
(1 ; i^5 ; -i^5 ) ; ((1 ; i^9 ; -i^9 ) ; ((1 ; i^13 ; -i^13 ) ; ((1 ; i^17 ; -i^17 ) ; ((1 ; i^21 ; -i^21 )
oui?
non pas du tout, je t'ai dit par permutation (i ,1 ,-i) ; (1 ,-i ,i) ; (i ,-i ,1) ; (-i ,1 ,i); (-i ,i ,1)
je t'ai répondu dans mon premier post, les solutions sont celles déjà trouvées donc (1 ,i ,-i) et permutations.
il ne fait pas trouver du tout quoi ? On a redémontré grâce à (z-1)(z²+1)=0 que les seules solutions étaient 1, i ou -i et qu'il n'y en avait pas d'autres. Je vois que tu n'as pas trop suivi.
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