Niveau terminale

nombres complexes

Posté par
letonio 04-08-05 à 16:46

Bonjour tout le monde,
Je suis en train de faire un exercice de type bac, et je ne suis pas sûr du tout de le faire de la manière la plus simple.
Dans le plan... on considère les points Mn d'affixe:
Zn= $(1/2i)^n$ (1+ i3)

On nous fait un peu bosser puis on arrive à la question :
Montrer que $M_nM_{n+1}$ =5/ $2^n$ , pour tout entier n naturel.

Je suis parti du principe que calculer cette longueur, c'était calculer | $Z_{n+1}$ - $Z_n$ |, et je me suis retrouvé avec un calcul très long qui m'amène au résultat voulu...
J'ai fait en fait plusieurs fois le même calcul.
Pour n=2+ 4K avec k
Pour n=3 +4k
Pour n=4+ 4k
Pour n=5+ 4K

Est ce que c'est une méthode correcte? Comment fait on pour tenir compte des puissances du nombre i?

Posté par re : nombres complexes 04-08-05 à 17:02

Beaucoup de choses se mettent en facteur, non ?

Z_n+1-Z_n
= (1/2i)ⁿ . (1+iV3) . (1/2i - 1)
Puis tu prends le module de chaque terme

Posté par re : nombres complexes 04-08-05 à 17:12

hum je me doutais bien qu'il y avait beaucoup plus rapide...

Posté par aicko (invité)re : nombres complexes 05-08-05 à 00:44

$Zn=2\frac{1}{(2i)^n}(e^{\frac{ipi}{3})}$

$Z_{n+1}-Z_{n}=2e^{\frac{ipi}{3}$ * $\frac{1}{(2i)^n}$ *( $\frac{1}{2i}$ -1)
=
$2e^{\frac{ipi}{3}$ * $\frac{1}{(2i)^n}$ *( $\frac{-i}{2}$ -1 )

donc
$\mid$ $Z_{n+1}-Z_{n}$ $\mid$ = $\mid$ $2e^{\frac{ipi}{3}$ * $\frac{1}{(2i)^n}$ $\mid$ * $\mid$ $\frac{-i}{2}$ -1 $\mid$
= $\frac{2}{2^n}*sqrt{\frac{5}{4}}$
= $\frac{sqrt{5}}{2^n}$

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