salut
1) z=a+ib avec a et b reels.
|z|²=a²+b² |z|<1 donc a²+b² < 1 donc b² <1
or  Re(3+4z+z²) = 3+4a+(a²-b²) donc Re(3+4z+z²) > 0
2) <= evident.

=> soit u=a+ib et v=ci+d avec a b c d reels.
Im(u²)=2ab et Im(v²)=2cd
donc comme |z|²=u²+v² et que |z|² reel on a Im(u²+v²)=0
donc 2*[ab+cd]=0
donc ab+cd=0

or z=a-d + i*(b+c) ; |z|² = (a-d)²+(b+c)²
or Re(u²+v²) = a²-b²+c²-d²

donc d²+b²-ad+bc=0

1er cas : b=0 => c=0 ou d=0
1er cas a) b=c=0 donc d²-ad=0 =d*(d-a)=0
si d=0 alors u reel et v nul
si d=a comme z=a-d + i*(b+c) alors z=0
1er cas b) b=0 et d=0 => d²+b²-ad+bc=a*d=0
si a=0 alors u = 0 et v reel.
si d=0 => u reel et v=0.

2 eme cas b different de 0
a=-cd/b

donc d²+b²+cd²/b + bc =0

donc [b²+d²]*[c/b+1]=0

comme b non nul on ne peut avoir que c/b+1=0 donc c/b=-1 donc c=-b

et donc a=d (car a=-cd/b). or z=a-d + i*(b+c) donc z=0.

voila dans tous les cas on aboutit a z=0 ou (u reel et v reel).

ps. peut etre facon plus simple en faisant :

|z|²=u²+v² et z different de 0 =>  u et v réels.

a voir...et a verifier!!!

Merci pour cette réponse. Pour le premier exercice je n'ai pas tout saisi, comment arrive tu à conclure que 3+4a+(a²-b)²>0 ??