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Nombres complexes

Posté par gabs4556 (invité) 13-09-05 à 20:10

Bonsoir a tous,
Je dois faire un exercice dans lequel il faut repondre vrai ou faux, mais les réponses sont à justifiées.
J'ai reussit à faire quelques questions mais d'autres sont un peu floues pour moi.

voici l'énoncé :
Le plan complexe (P) est muni d'un repère orthonormal (O, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).
Soit $5$f$ l'application qui à tout point M d'affixe $\large z$ associe le point M' d'affixe $\large z'$ tel que :
$\large z'=\frac{1}{2}(z+i\bar{z})$ .

a) Il existe un unique point invariant par $5$f$ .

b) Les vecteurs $\vec{OM'}$ et $\large \vec{u}+\vec{v}$ sont colinéaires.

c) Pour tout $z\in\mathbb{C}$ , $\frac{\large z'- z}{\large 1-i}$ est réel.

d) Les vecteurs $\vec{MM'}$ et $\large \vec{u}-\vec{v}$ sont colinéaires.

e) $5$f$ est la projection orthogonale sur la droite (D) d'équation $\large y=x$ .

$\red\textrm Quelques rappels:$
M est un point invariant par f si f(M)=M (cad si z'=z)
M' est le projeté orthogonal de M sur (D) si M' $\in$ (D) et si $\vec{MM'}$ est orthogonal à (D)

Voici mes quelques réponses :

Pour la a) : Je supose que $\large z' = z$
On veut donc trouver un point $\large z$ tel que $\large z=\frac{1}{2}(z+i\bar{z})$
$\Longleftrightarrow$ $\large 2(x+iy) = x+iy + i(x-iy)$
$\Longleftrightarrow$ $\large 2x+2iy = x+y + i(x+y)$
$\Longleftrightarrow$ $\large x=y$
L'affirmation a) est donc fausse car tous les points de (P) se trouvant sur la droite déquation $\large y=x$ sont des points invariants

Pour la b) Pouvez vous me dire de quel maniere il faut commencer ?

Pour la c) $\frac{\large z'- z}{\large 1-i}$

= $\frac{\large \frac{1}{2}(z+i\bar{z})- z}{\large 1-i}$

= $\frac{\large -\frac{1}{2}z+ i \frac{1}{2}\bar{z}}{\large 1-i}$

= $\frac{\large -\frac{1}{2}(x+iy)+ i \frac{1}{2}(x-iy)}{\large 1-i}$

= $\frac{\large \frac{1}{2}[i(x-iy)-(x+iy)]}{\large 1-i}$

= $\frac{\large \frac{1}{2}(ix-iy+y-x)}{\large 1-i}$

= $\frac{\large \frac{1}{2}(y-x)(1-i)}{\large 1-i}$

= $\large \frac{1}{2}(y-x)$ $\Longrightarrow$ Nombre réel

L'affirmation est juste : $\frac{\large z'- z}{\large 1-i}$ est bien un réel.

Pour la d) idem que la b)

Pour la E) je crois qu'il faut se servir de la réponse de la b) ou de la d) mais vu que je n'ai pas reussit a les faire...

Pouvez vous me dire si les réponses a) et c) sont justes et m'éclairçir sur b) et d)
Merci à tous !!

Posté par gabs4556 (invité)re : Nombres complexes 13-09-05 à 22:32

Je voit que mon exercice vous inspire autant que moi...
Bon enfaite j'ai bien avancé mais je coince parce que je n'arrive pas à démontrer que $\large \vec{u}-\vec{v}$ est orthogonal avec la droite (D) d'équation $\large y=x$ . (je rappel que l'on est dans un plan complexe (P) est muni d'un repère orthonormal (O, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).
Merci à celui ou ceux qui peuvent m'aider !

Posté par re : Nombres complexes 14-09-05 à 00:44

bonsoir,

sauf erreur de ma part $\vec{u}-\vec{v}$ a pour composante 1 et -1
y=x a pour composante 1 et 1

tu fais le produit scalaire et tu trouves :

$1\times{1}-1\times{1}=0$

donc les vecteurs directeurs sont perpendiculaires.

bonne nuit

Paulo

Posté par gabs4556 (invité)re : Nombres complexes 14-09-05 à 07:59

ok merci paulo !

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