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Nombres complexes !!

Posté par coccinelle (invité) 21-09-05 à 21:41

Bonsoir à tous!
J'ai un DM de mathématiques à rendre pour demain, mais je bloque sur le dernier exercice depuis un bon bout de temps, je n'y arrive pas du tout ...
Si quelqu'un pourrait me filer un coup de pouce ça serait vraiment gentil de sa part!
Merci

Voici l'énoncé:
Démontrer que quels que soient les complexes z1 et z2, on a:
|z1|+ |z2||z1-z2| + |z1+z2|
Rechercher les complexes z1 et z2 pour lesquels il y a égalité.

Merci encore
Coccinelle

Posté par coccinelle (invité)re : Nombres complexes !! 21-09-05 à 23:31

Je suis toujours sur cet exercice et je n'avance pas ...
Personne aurait un petit peu d'aide à me donner?? S'il vous plait ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nombres complexes !! 22-09-05 à 00:45

Bonsoir coccinelle;
*2$\fbox{\{{ |z_1+z_2|+|z_1-z_2|\ge|(z_1+z_2)+(z_1-z_2)|=2|z_1|\\|z_1+z_2|+|z_1-z_2|\ge|(z_1+z_2)-(z_1-z_2)|=2|z_2|}
en faisant la somme de ces deux inégalités tu as:
2$\fbox{2(|z_1+z_2|+|z_1-z_2|)\ge2(|z_1|+|z_2|)}
et en simplifiant par 2\ge0 tu as le résultat
*En posant \fbox{Z=z_1+z_2\\Z'=z_1-z_2} on voit que l'égalité nécéssite que:
\fbox{|Z|+|Z'|=|Z+Z'|=|Z-Z'|}
et en élevant cette dernière relation au carré on a que:
\fbox{|Z|^2+|Z'|^2+2|Z||Z'|=|Z|^2+|Z'|^2+Z\bar{Z'}+\bar{Z}Z'=|Z|^2+|Z'|^2-Z\bar{Z'}-\bar{Z}Z'}
et on voit qu'alors |Z||Z'|=0 c'est à dire que: ou\{{Z=0\\Z'=0
Réciproquement si z_1=\pm z_2 l'égalité est vérifiée.
3$\fbox{\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}\\|z_1|+|z_2|\le|z_1+z_2|+|z_1-z_2|\\|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|+|z_1-z_2|\Longleftrightarrow z_1=\pm z_2}

Sauf erreur

Posté par coccinelle (invité)re : Nombres complexes !! 22-09-05 à 07:28

Merci beaucoup pour ce grand coup de pouce :p


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