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Nombres complexes
Dans le plan complexe (O ; OU; OV), on considère les points Mn d'affixes
zn=(1 +i*racine de 3)*(i/2)^n où n est un entier naturel.
1; Exprimer z(n+1) en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n.
----> Je trouve z(n+1) = zn*(i/2)
et zn = z0*(i/2)^n
2. Donner zo, z1, z2, z3 et z4 sous forme algébrique et sous forme géométrique.
----> z0 = 1+i*racine de 3
z0 = 2 (cos pie/3 + i*sin pie/3)
z1 = i/2 - racine de 3/2
z1 = cos 5pie/6 + i*sin 5pie/6
z2 = -1/4 - (racine de 3/4) * i
z2 = 1/2 * (cos 4pie/3 + i*sin 4pie/3)
z3 = racine de 3/8 - (1/8) * i
z3 = 1/4 * (cos -pie/6 + i*sin -pie/6)
z4 = 1/16 + (racine de 3/16) * i
z4 = 1/8 * (cos pie/3 + i*sin pie/3)
3. Determiner la distance OM(n) en fonction de n.
5) a) Montrer que l'on a MnM(n+1) = racine de 5 / 2^n pour tout
entier naturel n.
HELP!! v_____v
1; juste
2; Z0=1+iracine de 3
Z0=2(cos(pi/3)+i sin (pi/3)) (c'est quoi le e)
3. Mn ont pour affixes zn=(1 +i*racine de 3)*(i/2)^n
donc les coordonnées de Mn sont ( (i/2)^n, (racine de 3)*(i/2)^n)
O a pour coordonnées (0,0) donc le vecteur OMn a pour coordonnées (
(i/2)^n, (racine de 3)*(i/2)^n)
donc la distance OMn =racine carrée(((i/2)^n)^2+((racine de 3)*(i/2)^n))^2)
Je n'ai pas tout lu, mais il me semble que:
3)
zn = z0*(i/2)^n
zn = [z0/(2^n)]*(i)^n
i^n modifie l'argument mais pas le module ->
|zn| = |zo| / (2^n)
et comme |zo| = 2 ->
|zn| = 1 / (2^(n-1))
-----
5)
z(n) = z0*(i/2)^n
z(n+1) = z0*(i/2)^(n+1)
|z(n)| = 1 / (2^(n-1))
|z(n+1)| = 1 / (2^n)
z(n+1) / z(n) = i/2
-> décalage de 90°.
Pythagore: |M(n)M(n+1)|² = |z(n)|² + |z(n+1)|²
|M(n)M(n+1)|² = [1 / (2^(n-1))]² + [1 / (2^n)]²
|M(n)M(n+1)|² = [2/(2^n)]² + [1 / (2^n)]²
|M(n)M(n+1)|² = 4/(2^2n) + 1 / (2^2n)
|M(n)M(n+1)|² = 5/(2^2n)
|M(n)M(n+1)| = V5/(2^n)
------------
Sauf distraction.
Q1 et Q2 vos réponses sont juste
pour la suite en va écrire les complexes sous format exponentiel:
Ainsi : zn= z0*(i/2)^n = (2/2^n)exp(i Pi/3)*exp(i n*Pi/2)
= (1/2^(n-1))exp(i Pi/3)*exp(i
n*Pi/2)
Q3
la vecteur OMn a pour affixe zn que vous venez de calculer.
la Distance OMn=|zn| = |(1/2^(n-1))exp(i Pi/3)*exp(i n*Pi/2)|
= 1/2^(n-1)
Q5)
Le vecteur v(MnMn+1) = v(OMn+1) - v(OMn) ; v() veut dire vecteur.
Donc le vecteur v(MnMn+1) a pour affixe (z(n+1 ) -zn)
Et la Distance MnMn+1 = |z(n+1 ) -zn|
z(n+1 ) -zn = (1/2^(n))exp(i Pi/3)*exp(i (n+1)*Pi/2)
- (1/2^(n-1))exp(i Pi/3)*exp(i n*Pi/2)
= (1/2^(n))exp(i Pi/3)*exp(i n*Pi/2) (exp(iPi/2) - 2)
On a:
|exp(i Pi/3)|= 1
|exp(i n*Pi/2) | = 1
|exp(iPi/2) - 2| = |i - 2| = racine(1+4) = racine(5)
Donc MnMn+1= (1/2^(n)) * 1 * 1 * racine(5)
= racine(5)/2^n
Voila bon courrage et pensez à utiliser les forme exponentielle des nombres complexes.
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