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nombres complexes
Bonjour, est ce que quelqun pourait m' aider pour l' exercice suivant svp.
Le plan complexe P est rapporte au repere orthonormal direct ( 0,u ,v) (unite graphique:3cm) . On designe par A le point d' affixe i . A tout point M du plan, distinct de A, d' affixe z, on associe le point M', d' affixe z', defini par z' = z^2/i-z.
1) Determinerz les points M confondus avec leur image M' .
z=z'
z=z^2/i-z
z(i-z)=z^2
z(i-z)-z^2=0
z(i-2z)=0
z=0 et i-2z=0
z=i/2
donc ce sont les points M d' affixe z=0 et z=i/2.
2) Etant donne un complexe z distinct de i , on pose : z= x+iy et z'=x'+iy' avec x,y,x' et y' reels . Montrez que: x'= (-x(x^2+y(y-2))/(x^2+(y-1)^2). En deduire l' ensemble E des points M dont l' image M' est situee sur l' axe des imaginaires purs. Dessinez l' ensemble E.
j'ai chercher x' mais je ne trouve pas car j' ai:
x'=z'-iy'
x'= ((z^2)/(i-z))-iy'
et je bloque.
merci
Bonjour
z'=z²/(i-z) = (x²-y²+2ixy)/(-x+i(1-y)) = (x²-y²+2ixy)(-x-i(1-y))/(-x+i(1-y))(-x-i(1-y))
z'=(x²-y²+2ixy)(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
x'=(-x(x²-y²)+2xy(1-y))(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
x'= (-x(x²-y²-2y+2y²))(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
x'= (-x(x²+y²-2y))(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
x'= ( -x(x²+y(y-2) )/(x^2+(y-1)^2)
x' nul si
x=0 et y différent de 1
x=0 et y=0
x=0 et y=2
donc si x=0 et y différent de 1 => droite des Im purs privée de A
Vérifies...
Philoux
re, merci pour ton aide.
desole , mais je ne comprends pas ta 3eme etape:
x'=(-x(x²-y²)+2xy(1-y))(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²)) .
merci
quand tu as z'=(a+ib)(c+id)/k, a,b,c,d et k réels
tu développes le numérateur pour faire apparaître A+iB, A et B réels
A=(ac-bd)/k et B=(ad+bc)/k
vérifies...
Philoux
re,
je crois qu' on ne parle pas de la meme chose.
je demandais comment on passe de :
z'=(x²-y²+2ixy)(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
a:
x'=(-x(x²-y²)+2xy(1-y))(-x-i(1-y))/(x²+(1-y)²))
car on a z'=x'+iy'
donc x'=z'/iy'
or je ne comprends pas comment vous passer de l'un a l' autre.
merci
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