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nombres complexes
coucou tout le monde
je bloque sur des questions de mon DM de maths.
voici l'enoncé :
Le plan est rapporté à un repère (O,i,j). On considère les points A d'affixe 2i et B d'affixe (-1-i)/2.
A tout complexe z
2i, on associe le complexe u = (2z+1+i)/(z-2i). On pose z= x+yi avec x et y réels.
1) Déterminer la partie réelle X et la partie imaginaire Y du complexe u. J'ai trouV X = (2x²+x+2y²-3y-2)/(x²+(y-2)²) et Y = (5x-y+2)/(x²+(y-2)²)
2) Déterminer et construire l'ensemble E des points M d'affixe z tels que u est réel. J'ai trouV : E est la droite d'équation y=5x+2 privée du points A(2i).
3) Déterminer et construire l'ensemble F des points M d'affixe z tels que u est imaginaire pur. Cela m'a donné un cercle de centre C(-1/4, 3/4) et de rayon racine de 13/racine de 8 privée du point A(2i)
je bloque à partir de cette question.
4) Déterminer et construire l'ensemble E1 des points M d'affixe z tels que u est un réel négatif. je pensais faire avec arg(u)= pi.
5) Déterminer l'ensemble F1 des points M d'affixe z tels que u est un imaginaire pur de partie imaginaire positive. Peut-être arg(u)=pi/2
6) Déterminer l'ensemble G des points d'affixe z tels que u=i
7) déterminer l'ensemble H des points M d'affixe z tels que le module de u =2
j'aimerais juste avoir quelques conseils pour commencer à résoudre ces questions.
merci d'avance
ciao
Bonjour foung,
Les questions qui suivent visent à exploiter les questions précédentes en partionnant le plan à partir des ensembles (E) et (D).
4) u réel négatif => Im(u)=0 et Re(u)<0
Im(u)=0 => E1 sera un sous-ensemble de E, une partie de la droite E.
Comme X=2( (x+1/4)²+(y-3/4)²-13/8 )/( x²+(y-2)² )
X<0 => (x+1/4)²+(y-3/4)²-13/8 <0 => (x+1/4)²+(y-3/4)² < 13/8 => z à l'intérieur du cercle (F)
E1 est donc le segment de droite (E) situé à l'intérieur de (F)
5) u imaginaire pur positif => Re(u)=0 et Im(u)>0
Re(u)=0 => F1 sera un sous ensemble de F, une partie du cercle F.
Comme Y = (5x+2-y)/( x²+(y-2)² )
Y>0 => 5x+2-y>O => y<5x+2 => z situé au-dessous de la droite (E)
F1 est donc l'arc de cercle AB de (F) situé au-dessous de (E)
6) u=i => Re(u)=0 et Im(u)=1
Re(u)=0 et Im(u)=1 >0 => G sera un sous ensemble de F1, une partie de l'arc de cercle F1.
Comme Y = (5x+2-y)/( x²+(y-2)² )
Y=1 => x²+y²-4y+4 = 5x+2-y => x²-5x+y²-3y+2=0 => (x-5/2)²+(y-3/2)=4=2² Cercle D(5/2;3/2) rayon=2
G est donc composé des 2 points intersection du cercle F et celui de centre D et de rayon 2...
7) |u|=2
u = (2z+1+i)/(z-2i) = 2(z-(-1/2 - i/2))/(z-2i) => |u|=2|z-zB|/|z-zA|
|z|=2 => |z-zB|/|z-zA| = 1 =>|z-zB| = |z-zA| => z sur la médiatrice de AB
A vérifier...
Philoux
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