Bonsoir
Pour la 1 tu dois résoudre:
(z/2)+(i(z barre)/2)= z ...
donc tu s
(z + iz barre) = 2z si j'ai bien compris
donc z - iz barre = 0
Soit z= x + iy
on a (x+iy)- i(x-iy)
donc x + iy - ix - y = 0
donc (x+y) + i(y-x) = 0
or on a cela que lorsque parties imaginaires et réelles sont nulles soit; y - x = 0 soit y=x; ce qui est bien une droite!

2. a)Montrer que le nombre (f(z)-z)/(1-i) est réel.
Eh bien tu y procèdes en calculant (f(z)-z)/(1-i)
Tu as au final (sauf erreur!)
(-z - iz+ iz(barre) - z(barre))/4
Pose z= x+iy
on a
(-x-iy-ix+y+ix+y-x+iy)/4
il reste (-x+y+y-x)/4 soit (y-x)/ 2
comme on a pas de partie imaginaire qui intervient alors on en déduit que c'est un réel (à vérifier!!)

Merci pour votre aide

bonjour iska
permettez moi de vous répondre même si c'est un peut tard. Mais j'espère cela pourrait vous être utile.

je reprend à partir de la question 2.

2a)

f(z)-z= ((z+iz*)/2) - z   ; z* est le conjuqué de z
      =(z+iz* -2z)/2
      =(-z+iz*)/2

(f(z)-z)/(1-i)=((-z+iz*)/2)(1+i)/2
              = (-z+iz*-iz-z*)/4
              =[(-1-i)z + (-1+i)z*]/4
              = [(-1-i)z + ((-1-i)z)*]/4
              =Re((-1-i)z)/2
donc (f(z)-z)/(1-i) est un réel.

b)
le vecteur u-v a pour affixe 1-i
et le vecteur MM' a pour affixe f(z)-z

dire que (f(z)-z)/(1-i) est un réel veut dire que:
arg(f(z)-z)- arg(1-i) = O (2Pi) ou = Pi (2Pi)
                      = 0 (Pi)

c'est à dire que les vecteur MM' et u-v sont colinéaires
ce qui est équivalent à M' appartient à la droite qui passe par M et de vecteur directeur u-v.
donc M' appartient à (Delta)m

3a) f(f(z))=[(z+iz*)/2)+i(z+iz*/2)*]/2
           = [(z+iz*)+i(z*-iz]/4
           = [z+iz*+iz*+z]/4
           = (2z+2iz*)/4
           = (z+iz*)/2
           = f(z)

donc fof=f
si f est linéaire f est une projection
vérifions que f est linéaire.

f(az1 + bz2)= [(az1 + bz2)+i(az1 + bz2)*]/2  ; a et b sont des réels
            = [(az1 + bz2)+iaz1* + ibz2*]/2
            = [(az1 + iaz1*) +(bz2 ibz2*]/2
            = a[(z1 + iz1*)]/2 + b[(z2 iz2*)]/2
            = af(z1) + bf(z2)
donc f est linéaire.

donc f est un projecteur sur la droite D qu'il laisse invariant reste à montrer par rapport à quelle direction?

b) comme f(f(z))=f(z) d'apprès la question 1, le point M' d'affixe f(z) appartient à D
comme il appartient aussi à la droite (Delta)m
donc M' appartient à D inter (Delta)m

4) f est la projection orthogonale sur D car u-v est orthogonal à D

voila bon courage

Non il n'était pas trop tard alors merci bcp pour votre aide.