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Niveau terminale
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Nombres complexes

Posté par
Sarouman
26-10-19 à 12:53

Bonjour, je suis en terminale et j'ai un devoir maison à rendre à la rentrée. Mais je n'y arrive pas vraiment. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
1. Donner la formule algébrique du quotient \frac{3-i}{1+2i}.
      Donc j'ai trouvé \frac{3-6i-i+2i^{2}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i
2. Résoudre dans l'équation (1-i)z+2i-2\sqrt{3}=-2(1+i\sqrt{3}) et donner le résultat sous forme algébrique
      J'ai trouvé z=2\sqrt{3}-2i
3. Résoudre dans 3z^{2}+z=-1
      J'ai résolu un polynôme du second degré avec deux racines complexes conjuguées qui sont : z_{1}=\frac{-1}{6}-\frac{\sqrt{11}}{6}i  et z_{2}=\frac{-1}{6}+\frac{\sqrt{11}}{6}i
4. Résoudre dans z^{4}-2z^{2}-15=0
5. On pose pour tout entier naturel n z_{n}=i^{n}. Déterminer z_{1515}


      La je suis bloquée à la 4 et 5, je ne vois pas comment faire. Pour la 5 j'ai bien trouvé que z_{1515}=i^{1515}=-i, mais je l'ai fait à la calculatrice donc je me doute bien qu'il ne faut pas faire comme ça.
Je vous remercie pour votre aide.

Posté par
kenavo27
re : Nombres complexes 26-10-19 à 13:25

Bonjour
Z=z2
Si ça peut t'aider.

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 14:02

Oui, cela doit sûrement pouvoir m'aider, le soucis c'est que je ne vois pas en quoi. Mais merci !

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 14:32

Bonjour,

\large z^2=Z
 \\ 
 \\ z^4=?

d'où \large z^4-2z^2-15=0 devient ?

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 14:41

Je suppose donc que z^{4}=2Z et que l'équation devient 2Z-2Z-15=0.
Je pense avoir écrit des bétises non ? Et pour tout cela va sûrement paraître un peu débile mais je ne vois pas comment vous trouvez que z^{2}=Z, je ne comprend d'où cela sort.

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 14:52

Citation :
l'équation devient 2Z-2Z-15=0.


x^2=6
 \\ x^4=?

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:14

36 ?
Donc si z^{2}=Z  alors  z^{4}=Z^{2}
Mais je ne comprend pas d'où sort le z^{2}=Z

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:18

ça permet dans un 1er temps de remplacer, dans le cas qui nous occupe,une équation du 4e degré en z par une équation du 2d degré en Z

vas-y !

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:32

Donc ça me donne :
On pose z^{2}=Z donc z^{4}=Z^{2}.
On a donc Z^{2}-2Z-15=0 où a=&, b=-2 et c=-15
\Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4*1* (-15)=64
Il existe donc deux racines réelles x1 et x2
x_{1}=-3 ou x_{2}=5

Est-ce que c'est cela ?

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:38

pas tout à fait; tu obtiens Z=-3   ou   Z=5

soit z^2=-3 ou z^2=5, pour lesquelles tu dois calculer les valeurs de z

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:47

Mais un carré est toujours positif alors la valeur z^{2}=-3 n'existe pas non ?

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:48

si on est dans

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 15:52

Ah oui, c'est vrai ^^'
Du coup z=\sqrt{-3}=\sqrt{3}i    ou      z=\sqrt{5}

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:06

ta 1re réponse est fausse on écrit pas \sqrt{-3}

La racine carrée n'est pas définie pour un nombre négatif, puisque le carré d'un nombre quelconque est toujours positif.

la 2ème est incomplète

z^2=-3\iff z^2+3=0\iff z^2-(\sqrt{3}i)^2=0

z^2=5\iff z^2-\sqrt{5}^2=0

expressions est de la forme a²-b²

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:17

Je ne comprend votre dernière étape...

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:27

i^2=-1, + 3 =-3 \times i^2

\sqrt{3}~i\times \sqrt{3}~i=-3i^2

a^2-b^2=(.....)(.....)

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:32

On obtient :
(z+\sqrt{5})(z-\sqrt{5})=z^{2}-5 
 \\  ou  (z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)=z^{2}+3

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:45

oui mais comme tu as remplacé tu n'as plus que

(z+\sqrt{5})(z-\sqrt{5})=0
 \\ 
 \\  (z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)=0

à résoudre

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:50

Du coup au final on obtient 4 solutions ?

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:50

Du coup au final on obtient 4 solutions ?

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:53

ben oui tu partais d'une équation du 4e degré donc c'est normal

Posté par
Sarouman
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:55

OH mais oui quelle bêta...
Et bien franchement je vous remercie parce que faut dire que je suis dure de la feuille et met trois heures à comprendre alors merci beaucoup !!!

Posté par
Pirho
re : Nombres complexes 26-10-19 à 16:57

de rien nous sommes là pour aider les gens



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