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Nombres Complexes

Posté par
pfff 23-04-20 à 00:33

Bonsoir j'ai besoin d'aide pour cette question.

  ÉNONCÉ

On considere la suite de points M_n d'affixes respectives Z_n définies par :
Z_o = 8 et pour tout entier naturel n , Z_n_+_1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{4}Z_n.

1. Démontrer que : OM_n_+_1 = \frac{1}{2} OM_n et que Mes ( \vec{OM_n} , \vec{OM_{n+1}} ) = \frac{\pi }{3}

2-a) Calculer \frac{Z_{n+1} - Z_n}{Z_{n+1}}
b) En déduire Mes ( \vec{M_{n+1}O} , \vec{M_{n+1}M_n} )
c) En déduire que M_n_+_1M_n = 3 M_n_+_1O

3-a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : Z_n =8(\frac{1+i\sqrt{3}}{4})^n
b) En déduire la forme trigonométrique de Z_n
c) Déterminer les entiers naturels n pour lesquels Z_n est un nombre réel

c'est uniquement la dernière question de l'exercice que j'ai pas pu faire merci de m'éclairer

Posté par
pfffre : Nombres Complexes 23-04-20 à 00:34

Plutot bonjour

Posté par
ciocciure : Nombres Complexes 23-04-20 à 01:12

Coucou
Tu dois te servir de la question 3b
Quand est ce qu'un complexe écrit sous forme module et argument est réel ?

Posté par
pfffre : Nombres Complexes 23-04-20 à 06:32

ah donc je cherche | Z | = | \overline{Z} |

Posté par
pfffre : Nombres Complexes 23-04-20 à 06:33

désolé plutot Z = \overline{Z}

Posté par
pfffre : Nombres Complexes 23-04-20 à 07:01

La forme trigonométrique j'ai trouvé Z_n = [tex]\frac{8}{2n}[ cos(n\frac{\pi }{3}) + isin(n\frac{\pi }{3}) ]
[/tex] Donc si je resouds j'obtiens :

Z = \overline{Z} \frac{8}{2n}[ cos(n\frac{\pi }{3}) + isin(n\frac{\pi }{3}) ] = \frac{8}{2n}[ cos(n\frac{\pi }{3}) - isin(n\frac{\pi }{3}) ]
             cos(n\frac{\pi }{3}) + isin(n\frac{\pi }{3}) = cos(n\frac{\pi }{3}) - isin(n\frac{\pi }{3})
             sin (n\frac{\pi }{3}) = sin 0
             n\frac{\pi }{3} = 0+2k\pi     ou  n\frac{\pi }{3} = \pi +2k\pi
             n=0+6k ou n = 3+6k

voici les entiers naturels que je trouve
          

Posté par
ciocciure : Nombres Complexes 23-04-20 à 09:26

Oui alors c'est pareil un complexe est réel ssi son arg = 0 +2k ou + 2k
Pas besoin de le redemanderez à chaque fois avec  zbar
De plus n0 sinon ton module de Zn fait la gueule
Sinon c'est bon

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres Complexes 23-04-20 à 10:57

Bonjour,

Citation :
un complexe est réel ssi son arg = 0 +2k ou + 2k
On peut aussi résumer par
un complexe est réel ssi son arg = k.
Toujours avec k dans .

Je n'ai pas compris
Citation :
De plus n0 sinon ton module de Zn fait la gueule
Pourquoi ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres Complexes 23-04-20 à 10:59

C'est 2n au dénominateur ...

Posté par
pfffre : Nombres Complexes 23-04-20 à 19:37

Sylvieg @ 23-04-2020 à 10:59

C'est 2n au dénominateur ...


oui c'est vrai je me suis trompé donc ce que j'ai fait n'est pas ca ?


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