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Niveau terminale
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Nombres complexes

Posté par
Samsco
08-07-20 à 22:06

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Le plan est mini du repère orthonormé direct (O , I , J) , A est le point d'affixe ZA et OAB est un triangle isocèle de sommet O , tel que :

mes(OA , OB)= [2π]

Déterminer l'affixe de B dans chacun des cas suivants :

(1)~Z_A=3+i~~,~~\theta=\dfrac{5\pi}{6}

(2)~Z_A=5~~,~~\theta=-\dfrac{7\pi}{3}

Réponses :

Posons ZB=a+ib

(1) OAB est un triangle isocèle de sommet O
donc OA=OB

|Z_A|=|Z_B|
 \\ \iff \sqrt{a²+b²}=\sqrt{2²+3²}
 \\ \iff a²+b²=13
 \\

mes(OA~,~OB)=\dfrac{5\pi}{6}~[2\pi]
 \\ 
 \\ \iff arg\left(\dfrac{Z_B}{Z_A}\right)=\dfrac{5\pi}{6}~[2\pi]
 \\ 
 \\ \iff arg(Z_B)-arg(Z_A)=\dfrac{5\pi}{6}~[2\pi]
 \\ 
 \\ \iff arg(Z_B)=\dfrac{5\pi}{6}+arg(Z_A)~[2\pi]

J'arrive pas a trouver l'argument de ZA
Soit 1 l'argument de ZA

\cos(\theta_1)=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}
 \\ 
 \\ \sin(\theta_1)=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 08-07-20 à 22:34

Bonjour,

B est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle . Tu dois avoir ça dans ton cours

Posté par
Samsco
re : Nombres complexes 08-07-20 à 22:46



Non cela se trouve plutôt dans la deuxième  leçon (nombres complexes et géométrie).

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 08-07-20 à 22:56

Considère le nombre complexe ZB/ZA.

Comme tu l'as dit, il a pour module 1 et pour argument arg(ZB)-arg(ZA)=

Donc ZB/ZA=...

Posté par
Samsco
re : Nombres complexes 08-07-20 à 23:07

Sinon je peux le faire .

L'écriture complexe d'une rotation est de la forme:

Z'=e^{i \theta}Z+b~ou~b \in \mathbb{C}~et~\theta~est~l'argument.
 \\ 
 \\ Z'=(cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6})Z+b
 \\ 
 \\ Z'=(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2})Z+b
 \\ 
 \\ Or~Z_O=0 \iff \dfrac{b}{1-(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)}=0
 \\  \iff b=0
 \\ 
 \\ Z'=(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)Z
 \\ 
 \\ Z_B=(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)Z_A
 \\ 
 \\ Z_B=-\dfrac{1-3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}
 \\

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 08-07-20 à 23:13

L'écriture d'une rotation de centre O et d'angle est effectivement de la forme Z'=Zei

Mais ta dernière ligne n'est pas correcte.

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 08-07-20 à 23:18

Il se fait tard, je ne reste pas...

Posté par
Samsco
re : Nombres complexes 09-07-20 à 01:32

D'accord , bonne nuit

Z_B=(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)(3+i)
 \\ 
 \\ =-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i+\dfrac{3}{2}i-\dfrac{1}{2}
 \\ 
 \\ Z_B=-\dfrac{3\sqrt{3}+1}{2}+i(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2})

Posté par
Samsco
re : Nombres complexes 09-07-20 à 01:40

larrech @ 08-07-2020 à 22:56

Considère le nombre complexe ZB/ZA.

Comme tu l'as dit, il a pour module 1 et pour argument arg(ZB)-arg(ZA)=

Donc ZB/ZA=...


Posons ZB/ZA=x+iy

arg(ZB)-arg(ZA)=5π/6 [2π]

<=>  cos(5π/6)=x/1 et sin(5π/6)=y/1
<=> x=-√3/2 et y=1/2

ZB/ZA=-√3/2+(1/2)i
<=> ZB=ZA(-√3/2+(1/2i))

J'ai déjà trouvé le résultat

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 09-07-20 à 08:37

Un nombre complexe Z de module r et d'argument s'écrit Z=rei.

Ici, cela donnait ZB/ZA=1*ei
d'où directement le résultat.

Bonne journée.

Posté par
Samsco
re : Nombres complexes 09-07-20 à 09:53

D'accord merci beaucoup , je ferais le reste.

Posté par
larrech
re : Nombres complexes 09-07-20 à 09:56

D'accord



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