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nombres complexes

Posté par
snyce 31-10-20 à 13:17

Bonjour,

Ayant commencé les nombres complexes cette semaine et devant rendre un exercice j'aimerais que l'ont me guide car je ne suis vraiment pas sur de moi afin que je puisse finir la totalité de l'exercice.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;
vecteur u ;vecteur v ) d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D définis par leurs abscisses respectives:
a = 4 ; b = 4i; c =-2\sqrt{3}-2i d= 2-2\sqrt{3}i

1. Déterminer le module et un argument de chacun des complexes a; b; c et d.

2. En déduire que les quatre points A, B, C et D sont situés sur un même cercle dont on
donnera le centre et le rayon.

3. soit z bc l'affixe du vecteur BC et z ad l'affixe du vecteur ad


(a) Montrer que z bc= \sqrt{3}z ad. que peut on en déduire ?

(b) Comparer les distances AB et CD.

(c) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD?



Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 13:21

Bonjour,
Module et argument de 4 ?

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 13:23

snyce @ 31-10-2020 à 13:17

Bonjour,


Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;
vecteur u ;vecteur v ) d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D définis par leurs abscisses respectives:
a = 4 ; b = 4i; c =-2\sqrt{3}-2i d= 2-2\sqrt{3}i


Ce ne serait pas plutôt leurs affixes ?

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 13:55

Qu'as-tu fait ?
Où bloques-tu ?

Posté par
snycere : nombres complexes 31-10-20 à 14:06

Module:

\left|Z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}


a=4     \left|Z \right|=\sqrt{4^{2}+0^{2}} = \sqrt{4}=2


b=4i    \left|Z \right|=\sqrt{0^{2}+4^{2}} = \sqrt{4}=2


c =-2\sqrt{3}-2i \left|Z \right|=\sqrt{\left(-2\sqrt{3} \right)^2+(-2)^2} =\left|Z \right|=\sqrt{4\times 3+3} = 4


d=2-2\sqrt{3}i \left|Z \right|=\sqrt{\left2\ \right^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12 } = 4

argument :

a) z=4 \left|z \right|=2 \cos (\theta) =\frac{x}{\left|z \right|} =\frac{4}{2}=2

b) z=4 \left|z \right|=2 \rightarrow \sin (\theta) =\frac{y}{\left|z \right|} =\frac{4}{2}=2


c) z=-2\sqrt{3}-2i\rightarrow \left|z \right|=4\rightarrow \cos \left(\theta \right)=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-1,5\rightarrow \sin \left(\theta \right)=\frac{-2}{4}=-0,5

d) z=2-2\sqrt{3i}\rightarrow \left|z \right|=4\rightarrow \cos \left(\theta \right)=\frac{2\sq}{4}=0,5\rightarrow \\sin (\theta )=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-1,5

c

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 14:45

snyce @ 31-10-2020 à 14:06

Module:

\left|Z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}


a=4     \left|Z \right|=\sqrt{4^{2}+0^{2}} = \sqrt{4}=2
4² = 4 c'est ça  ?????


b=4i    \left|Z \right|=\sqrt{0^{2}+4^{2}} = \sqrt{4}=2
4² = 4, c'est ça ?????


c =-2\sqrt{3}-2i \left|Z \right|=\sqrt{\left(-2\sqrt{3} \right)^2+(-2)^2} =\left|Z \right|=\sqrt{4\times 3+3} = 4


d=2-2\sqrt{3}i \left|Z \right|=\sqrt{\left2\ \right^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12 } = 4

argument :

a) z=4 \left|z \right|=2 \cos (\theta) =\frac{x}{\left|z \right|} =\frac{4}{2}=2

b) z=4 \left|z \right|=2 \rightarrow \sin (\theta) =\frac{y}{\left|z \right|} =\frac{4}{2}=2


c) z=-2\sqrt{3}-2i\rightarrow \left|z \right|=4\rightarrow \cos \left(\theta \right)=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-1,5\rightarrow \sin \left(\theta \right)=\frac{-2}{4}=-0,5

d) z=2-2\sqrt{3i}\rightarrow \left|z \right|=4\rightarrow \cos \left(\theta \right)=\frac{2\sq}{4}=0,5\rightarrow \\sin (\theta )=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-1,5

c

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 14:50

snyce @ 31-10-2020 à 14:06

Module:

\left|Z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}


a=4     \left|Z \right|=\sqrt{4^{2}+0^{2}} = \sqrt{4}=2


b=4i    \left|Z \right|=\sqrt{0^{2}+4^{2}} = \sqrt{4}=2


c =-2\sqrt{3}-2i \left|Z \right|=\sqrt{\left(-2\sqrt{3} \right)^2+(-2)^2} =\left|Z \right|=\sqrt{4\times 3+3} = 4


d=2-2\sqrt{3}i \left|Z \right|=\sqrt{\left2\ \right^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12 } = 4

argument :

a) z=4 \left|z \right|=2 \cos (\theta) =\frac{x}{\left|z \right|} =\frac{4}{2}=2
l'argument de tout nombre réel positif est 0 (modulo 2 pi)

Posté par
snycere : nombres complexes 31-10-20 à 14:52

Ah mais non désolé je me suis embrouillé

a=4 \left|Z \right|=\sqrt{4^{2}+0^{2}} = \sqrt{16}=4 \\ \\ b=4i \left|Z \right|=\sqrt{0^{2}+4^{2}} = \sqrt{16}=4

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 15:07

Refais les calculs pour les arguments de a et de b
Pour le c et le d : (- 2 racine de 3) / 4 ne fait pas - 1,5 comme tu l'as écrit à deux reprises

Posté par
azerti75re : nombres complexes 31-10-20 à 15:14

Remarque le module d'un nombre réel c'est sa valeur absolue d'où la notation similaire.
Donc le module de 4 = 4

Posté par
Pirhore : nombres complexes 31-10-20 à 16:58

Bonjour,

je me permets!

perso j'essaye toujours, quand c'est possible, mais je ne suis pas le seul, d'utiliser une astuce qui fait apparaître directement le cos et le sin d'un angle connu, ainsi que le module du nombre complexe

par exemples:

c=-2\sqrt{3}-2\,i   peut s'écrire c=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)

d=2-2\sqrt{3}\,i   peut s'écrire d=4\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\,i}{2}\right)

Posté par
snycere : nombres complexes 01-11-20 à 11:18

Je répond au argument :

a) z=4 \left\rightarrow |z \right|=4\rightarrow \cos (\theta) =\frac{x}{\left|z \right|} =\frac{4}{4}=1 \\ \\ b) z=4 \left\rightarrow |z \right|=4\rightarrow \sin(\theta) =\frac{y}{\left|z \right|} =\frac{4}{4}=1

Par contre pour simplifier la les expressions :

c=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)

et

d=4\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\,i}{2}\right)

je ne sais plus comment on fait ...

Posté par
Pirhore : nombres complexes 01-11-20 à 11:25

que veux-tu dire par simplifier?

Posté par
snycere : nombres complexes 01-11-20 à 11:35

trouver le résultat de l'argument c et de d pour poursuivre les exercices  

Posté par
Pirhore : nombres complexes 01-11-20 à 11:48

le 1er terme de la parenthèse c'est le cos et le second terme (sans le i) c'est le sin

Posté par
azerti75re : nombres complexes 01-11-20 à 11:52

Ces valeurs ne te font pas penser à un angle remarquable ?

Posté par
snycere : nombres complexes 01-11-20 à 12:05

Ah mais si vous avez raison je me réfère au cercle trigo

c=7pi/6

d=5pi/3

Posté par
azerti75re : nombres complexes 01-11-20 à 12:50

J'imagine que tu voulais dire qu'un argument du nombre c est 7pi/6
et qu'un argument de d est 5pi/3, ce qui est bon.
Et qu'est-ce que tu as trouvé comme argument de 4i ?

Posté par
snycere : nombres complexes 01-11-20 à 13:15

comme j'ai trouvé un peu plus haut

b=4 i\left\rightarrow |z \right|=4\rightarrow \sin(\theta) =\frac{y}{\left|z \right|} =\frac{4}{4}=1

Posté par
azerti75re : nombres complexes 01-11-20 à 13:50

Et un argument de 4i ?
C'est 1 ?

Posté par
snycere : nombres complexes 01-11-20 à 14:10

pi/2

Posté par
azerti75re : nombres complexes 01-11-20 à 14:22

C'est bon.

Et pour les autres questions , pas de problème ?

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 18:32

Je bloque sur le 3 (a)

Zbc=Zc-Zb=-2\sqrt{3}-2i-4i=-2\sqrt{3}-6i \\ \\ Zad=Zd-Za=2-2\sqrt{3}i-4=-4\sqrt{3i}

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 18:55

en attendant le retour de azerti75

Z_{ad} est faux

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 19:18

2-2\sqrt{3}i   ???

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 19:19

2-4=?

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 19:22

-4+2-2\sqrt{3i}=-4\sqrt{3i} je dois oublier une règle je sais que ce n'est pas ça mais j'essaye de comprendre

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 19:24

-2-2\sqrt{3i} j'avais oublié le -

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 19:27

attention à l'écriture

Z_{ad}=-2-2\sqrt{3}\, i   i n'est pas sous le radical

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 19:37

Ah oui je suis bête ...

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 19:52

Alors pour la suite de la question je ne suis vraiment pas sur de moi mais je vais essayer :

-2\sqrt{3}-6i=-2-2\sqrt{3i}\rightarrow -2\sqrt{3}-2\sqrt{3i}=-2-2\sqrt{3i}\rightarrow =\sqrt{3}

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 20:33

ton écriture n'est pas correcte (avec des Z en minuscules)

z_{bc}=-2\sqrt{3}-6i=-2\sqrt{3}-2(\sqrt{3})^2 i=\sqrt{3}(-2-2\sqrt{3}\,i)

z_{ad}=-2-2\sqrt{3}\,i

z_{bc}=\sqrt{3}\,z{ad}

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 21:06

pouvez vous me rappeler comment passe t on de -6i à-2(\sqrt{3})^2i

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 21:08

(\sqrt{3})^2=?

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 21:18

mais oui 3

Posté par
snycere : nombres complexes 02-11-20 à 21:21

et on en déduit  quoi de z bc= \sqrt{3}z ad ?

Posté par
Pirhore : nombres complexes 02-11-20 à 21:22

ben oui je l'ai écrit !


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