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nombres complexes

Posté par
Blueturtle
30-11-22 à 21:18

bonsoir , désolé de ce message tardif mais  je ne comprends pas cet exercice :

soient a et b deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls z=e^ia et z'=e^ib.
En calculant de deux manières différentes z*z' ,puis z/z', et retrouver les formules d'addition.

merci de votre aide bonne soirée

Posté par
co11
re : nombres complexes 30-11-22 à 21:36

Bonsoir
z = e^ia = cosa  + isina , idem  pour z'
Ensuite :
zz' = e^ia * e^ib = = e^i(a+b) ou bien ......
Idem pour le quotient

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 21:45

oh d'accord merci mais je ne comprends pas la partie "retrouver les formules d'addition"

Posté par
co11
re : nombres complexes 30-11-22 à 21:56

C'est bien cela le problème à mon avis : on te demande de retrouver des formules que tu connais déjà .

Je commence :
zz' = e^i(a+b) = cos (a+b) + i sin (a+b)
et ausi ;
zz' = (cosa + i sina)(cosb + isinb) à développer et comparer avec la précédente expression

Idem avec le quotient

Posté par
co11
re : nombres complexes 30-11-22 à 21:58

J'arrête pour ce soir.
Si quelqu'un veut prendre la suite, pas de problème.
Sinon, à demain Blueturtle

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:04

Bonsoir co11

je peux suivre

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:07

d'accord merci co11

et merci de te proposer Pirho ^^

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:11

Pirho @ 30-11-2022 à 22:04

Bonsoir co11

je peux suivre


pour déveloper (cos a+ i sin a)(cos b +i sin b)
je ne vois pas comment simplifier une fois développer ^^"

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:13

tu as cos (a+b) + i sin (a+b) =(cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

tu développes dans les 2 membres et tu as  une égalité de 2 nombres complexes

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:16

Oups! développe uniquement le 2d membre

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:20

d'accord merci  
donc :

cos (a+b) + i sin (a+b) =(cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
                        =cos a * cos b  + cos a *i sin b + isin a *cos b + i sin a *i sin b
                         =cos (a+b) + i sin (a+b)

c'est bien ça ?

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:28

j'écrirais plutôt

cos (a+b) + i sin (a+b) =(cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
                        =cos a * cos b  + cos a *i sin b + i sin a *cos b - sin a sin b
                        
et ensuite

cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b

sin(a+b)=sin a cos b +sin b cos a

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:32

d'accord merci effectivement c'est plus correct haha


mais par contre  pour la division je ne vois pas comment simplifier

e^ia/e^ib

et

cos a+i sina/cos b + i sinb

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:38

\dfrac{z}{z'}=\dfrac{e^{i a}}{e^{ib}}=.. à compléter

\dfrac{cos\, a + i\, sin\, a}{cos\, b+i\, sin\, b}=... tu multiplies haut et bas par le conjugué du dénominateur

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:40

ah oui c'est vrai j'avais oublié cette propriété merci
et pour avec l'exponentiel c'est les propriétés sur les exposants ?

merci pour tes réponses ^^

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:44

Blueturtle @ 30-11-2022 à 22:40


pour avec l'exponentiel c'est les propriétés sur les exposants ?
Ben oui

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 22:56

d'accord c'était pour être sure

j'obtiens :

e^ia-ib

et pour l'autre je n'arrive pas à simplifier ( les cos et sin me perturbent haha^^")

cos a * cos b+ cos a *-i sin b +i sin a*cos b +sin a*sin b
-----------------------------------------------------------------
(cos b)^2+ cos b*(-i sin b)+ i sin b* cos b+ i sin b  * (-i sin b)

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:00

Blueturtle @ 30-11-2022 à 22:56

d'accord c'était pour être sure

j'obtiens :

e^ia-ib ce n'est pas fini

et pour l'autre je n'arrive pas à simplifier ( les cos et sin me perturbent haha^^") revois un peu ton dénominateur, il faut simplifier(tu te compliques un peu la vie ...)

cos a * cos b+ cos a *-i sin b +i sin a*cos b +sin a*sin b
-----------------------------------------------------------------
(cos b)^2+ cos b*(-i sin b)+ i sin b* cos b+ i sin b  * (-i sin b)

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:03

e^ia+e^-ib?

et d'accord merci mais je ne vois pas comment le simplifier..;

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:05

ou plutôt
e^i(a-b)

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:07

\dfrac{z}{z'}=\dfrac{e^{i a}}{e^{ib}}=e^{i(a-b)}=cos(a-b)+i\,sin(a-b)

le dénominateur est de la forme (A+B)(A-B) donc il vaut?

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:09

d'accord merci ^^

=a2-b2

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:12

donc le dénominateur est égale à 1

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:16

oui

donc finalement, réécris ton  quotient final

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:23

cos a*cos b +cos a *(-i sin b)+i sin a*cos b + sin a*sin b

cos (a-b)=cos a * cos b+ sin a*sin b
si (a-b)cos a*(-i sin b)+i sin a*cos b


mais je ne comprends toujours pas la partie retrouver les formules d'addition

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:23

oups petite erreur de frappe

sin(a-b)=cos a*(-i sin b)+i sin a*cos b

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:32

Blueturtle @ 30-11-2022 à 23:23

oups petite erreur de frappe

sin(a-b)=cos a*(-i sin b)+i sin a*cos b
????

il n'y a plus de i dans le second membre

et écris le 2e terme d'abord

Citation :
mais je ne comprends toujours pas la partie retrouver les formules d'addition
c'est cos(a+b), sin(a+b),... que tu as redémontré en passant par les nombres complexes

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:38

ah bon il me semblait qu'on obtenait ceci :

cos a*cos b +cos a *(-i sin b)+i sin a*cos b + sin a*sin b

cos (a-b)=cos a * cos b+ sin a*sin b
sin (a-b)=cos a*(-i sin b)+i sin a*cos b

c'est donc:
cos (a-b)=cos a * cos b+ sin a*sin b
sin (a-b)=cos a*(-sin b)+i sin a*cos b


et d'accord mercii de votre aide en tout cas

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:44

tu avais i\, sin(a-b)=cos\, a\,(-i sin\, b)+i\, sin\, a\,cos\, b d'où

sin(a-b)= sin\, a\,cos b- sin\,b\,cos\, a

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:48

désolé mais je dois quitter, bonne fin de soirée

Posté par
Blueturtle
re : nombres complexes 30-11-22 à 23:50

pas de soucis je comprends haha merci de votre aide bonne soirée

Posté par
Pirho
re : nombres complexes 01-12-22 à 07:45

de rien



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