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nombres complexes
Bonjour à tous, votre aide serait la bienvenue sur cet exercice 
Dans tout l'exercice, a désigne un nombre complexe qui n'est pas un réel négatif ou nul.
1. Montrer qu'il existe un unique nombre complexe b de partie entière strictement positive vérifiant b² = a.
On note , l'ensemble
2. Soit f l'application définie sur par :
a) Soit un nombre complexe de partie réelle strictement positive. Montrer que
est également de partie réelle strictement positive. (Ca c'est ok)
b) Démontrer que
3. On considère la suite définie par la donnée
et la relation de récurrence
pour tout entier
.
Pour tout , on pose également :
a) Monter que la suite est bien définie et prend ses valeurs dans
b) Justifier l'existence de la suite
c) Exprimer en fonction de
. En déduire une expression de
en fonction de
et
.
4. Prouver la majoration : et en déduire la limite quand
tend vers
de
puis de
Merci d'avance de votre aide !
Bonsoir cergei
Pour la 1), on sait qu'un nombre complexe non nul a exactement 2 racines carrées complexes.
Il existe donc un complexe z tel que z²=a. Par ailleurs, la partie réelle de z est nécessairement non nul car sinon z serait un imaginaire pur et donc a serait un réel négatif, ce qui est absurde.
Ainsi soit z, soit -z a une partie réelle strictement positive.
Pour 2)a), il faut montrer que si z est dans , alors il est en de même pour f(z).
Ainsi, il faut montrer que la partie réelle de est strictement positive. Pour montrer ça, il suffit de remarquer que
et d'utiliser la question 2)a).
Kaiser
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