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Nombres complexes, aidez moi svp, je bloque
bonsoirs, j'aimerai avoir de l'aide pour pouvoir faire cet exercice. C'est le suivant:
on considère le point A d'affixe 1 et pour tout réel Teta de [o;2pi[, le point M d'affixe z=e^(iO)
On désigne par P le point d'affixe 1+z et par Q le point d'affixe z².
1. A partir du point M donner:
- un construction géométrique du point P
- et une construction géométrique du point Q
Les points O, A, M, P et Q seront placés sur une même figure.
2. Determiner l'ensemble des points P, pour O appartenant à [0;2pi[
Tracer cet ensemble sur la figure précédente.
3. Soit S le point d'affixe 1+z+z², ou z désigne toujours l'affixe du point M.
Construire S, en justifiant la construction.
4.
a. Dans le cas ou S est différent de O, tracer la droite (OS).
Faire une conjectuer sur les points O, S et M
b. Demontrer que le nombre:
(1+z+z²)/z
est réel, quel que soit Teta, appartenant à [0;2pi[
Conclure.
je rapel que le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v)
merci d'avance pour votre aide.
salut
1.
P est l'image de M par la translation de vecteur u.
Q est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle teta=t.
2. l'ensemble cherche est le cercle de centre A et de rayon 1.
Pourquoi ?
on calcule PA=|(z+1)-1|=|z|=|e^(it)|=1
sinon M decrit le cercle de centre O et de rayon 1.
l'image d'un cercle par une translation est un cercle de meme rayon dont le centre est l'image du centre du cercle de depart par cette translation.
donc l'ensemble cherche est un cercle de rayon et de centre l'image de O par la translation de veteur u :
c'est donc A.
3.S a pour affixe 1+z+z^2
donc vecteur (OS) a pour affixe 1+z+z^2
vecteur(OA)+vecteur(OM)+vecteur(OP) a pour affixe 1+z+z^2
donc vecteur(OA)+vecteur(OM)+vecteur(OP)=vecteur(OS)
4a). dessin je te laisse faire.
conjecture : peut etre sont ils alignes ?
b)1+z+z^2= ???
si z=1 (1+z+z^2)/z=3/1=3 qui est reel.
si z different de 1 :
1+z+z^2 est la somme des 3 premiers termes de la suite geometrique de raison z et de premier terme 1.
on est dans le cas z different de 1 donc :
1+z+z^2=(1-z^3)/(1-z)=(z^3-1)/(z-1)
ce qui fait qu'on a (1+z+z^2)/z=(z^3-1)/[z*(z-1)]
on prend q=e^(i*t/2) donc q^2=z=e^(i*t)
donc (1+z+z^2)/z=(q^6-1)/[q^2*(q^2-1)]
on factorise q^6-1 par q^3 : q^6-1=q^3*[q^3-q^(-3)]
on factorise q^2-1 par q : q^2-1=q*(q-q^(-1))
donc (1+z+z^2)/z=q^3*[q^3-q^(-3)]/[q^3*(q-q^(-1))]
on simplifie (1+z+z^2)/z=[q^3-q^(-3)]/[q-q^(-1)]
on utilise la formule d'Euler :
pour a dans R :
sin(a)=(1/2i)*[e^(ia)-e^(-ia)]
on a donc (1+z+z^2)/z=sin(3*t/2)/sin(t/2) qui est un nombre reel.
conclusion soit k ce reel.
on a (1+z+z^2)/z=k
donc (1+z+z^2)=k*z
donc vecteur(OS)=k*vecteur(OM)
les 2 vecteurs cites sont colineaires donc les points O M et S sont alignes. ce qui confirme la conjecture du 4a.
a+
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