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Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2

Posté par
lou1100 24-02-23 à 13:48

Bonjour,
Je dois faire cet exercice :

Partie A : Préliminaire

On note (Zi) 0 i n - 1 ( autrement dit Z0, Z1 +...+ Zn-1 ) les éléments de Un


1) Montrer que Z0 + Z1 +...+ Zn-1 = 0 autrement dit que :
\sum_{k=0}^{n -1}Z_k = 0

Soit z = e^\frac{2i\pi}{5}

2) Calculer z^5

3) Montrer que 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0

4) Montrer que z + z^4 est solution de l'équation x^2 + x - 1 = 0

5) Montrer que z + z^4 sont conjugués

6) En déduire z + z^4 en fonction de cos (\frac{2\pi}{5})

7) Résoudre   x^2 + x - 1 = 0

8) En déduire  cos (\frac{2\pi}{5})

Partie B: Application

1) Construire le cercle trigonométrique et placer les points O ( 0; 0 ) , A ( -1; 0 ) , B(-\frac{1}{2} ; 0 ) et C ( 0; 1)

2) Calculer BC

3) Placer D sur (OA) tel que BD = BC ( sur la demi-droite ne contenant pas A )

4) Calculer OD

5) Placer I le milieu de [OD] puis calculer OI

6) A l'aide des parties A et B, tracer le pentagone régulier

7) Placer sur le cercle les points d'affixes 1, z, z^2, z^3 et z^4

Voici mes recherches :

1) Je n'ai pas trouvé

2) Soit z = e^\frac{2i\pi}{5}

z^5 = (e^\frac{2i\pi}{5})^5 =e^5\frac{2i\pi}{5} = e^2^i^\pi = 1

3) Montrer que 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0 revient à calculer la somme d'une suite géométrique de raison z

Donc S = \frac{z^5 - 1}{z-1} = \frac{1 - 1}{z-1} = 0

4) z = e^\frac{2i\pi}{5} et z^4 = (e^\frac{2i\pi}{5})^4  

(e^\frac{2i\pi}{5} + (e^\frac{2i\pi}{5})^4)^2 + (e^\frac{2i\pi}{5} + (e^\frac{2i\pi}{5})^4) - 1

(e^\frac{2i\pi}{5} + (e^\frac{8i\pi}{5}))^2 + (e^\frac{2i\pi}{5} + (e^\frac{8i\pi}{5})) - 1

(e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{\frac{8i\pi}{5}} )(e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{\frac{8i\pi}{5}} ) + (e^{\frac{2i\pi}{5}} + e^{\frac{8i\pi}{5}} ) - 1= e^{\frac{72i\pi}{5}} + e^{\frac{18i\pi}{5}} - 1 = e^{18i\pi} - 1 = 0

Donc z + z^4 est bien solution de l'équation

5) Pour cette question j'ai un début d'idée qui est de dire que z et z^4 sont les solutions de l'équation x^2 + x -1 = 0 avec des coefficients réels donc conjugués. Mais je ne montre rien...

6) Je ne vois pas où est-ce qu'on veut en venir lorsqu'il est écrit "en fonction de cos(\frac{2\pi}{5})

7) = 5  ; donc on admet deux solutions et je trouve : x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} et x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}
On trouve donc les deux solutions de l'équation

8) Je n'ai pas d'idée

Et je n'ai pas fait la partie deux, mais elle me paraît réalisable

Merci d'avance

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 15:17

Bonjour,

Commençons par le commencement :

Citation :
Partie A : Préliminaire

On note (Zi) 0 i n - 1 ( autrement dit Z0, Z1 ,..., Zn-1 ) les éléments de Un


Il ne manquerait pas quelque chose ?

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 15:30

Bonjour à vous deux
lou1100 tu as recopié une grande partie de ton exo
Tu as le droit de joindre l'original en image ou en pdf maintenant

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 15:45

Bonjour malou,
Du coup, je précise :
U_n est probablement un ensemble. Ses éléments sont-ils les racines nième de l'unité ? Cela mérite d'être précisé
J'ajoute que tu as su répondre correctement à la question 3)
La question préliminaire n'est qu'une généralisation et se traite de la même manière : e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 16:03

malou @ 24-02-2023 à 15:30

Bonjour à vous deux
lou1100 tu as recopié une grande partie de ton exo
Tu as le droit de joindre l'original en image ou en pdf maintenant

Je le ferai la prochaine fois, l'exercice est en entier !

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 16:09

Oui lou1100 mais la question reste entière :

Citation :
Partie A : Préliminaire

On note (Zi) 0 i n - 1 ( autrement dit Z0, Z1 ,..., Zn-1 ) les éléments de Un

Quel est cet ensemble U_n ?

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 16:10

lake @ 24-02-2023 à 15:45

Bonjour malou,
Du coup, je précise :
U_n est probablement un ensemble. Ses éléments sont-ils les racines nième de l'unité ? Cela mérite d'être précisé
J'ajoute que tu as su répondre correctement à la question 3)
La question préliminaire n'est qu'une généralisation et se traite de la même manière : e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k

Bonjour, oui excusez-moi, il s'agit d'un ensemble mais je n'ai pas trouvé le "u" adapté

Donc pour la question 1) il faut faire la somme d'une suite géométrique soit :
\frac{Z^{n-1} -1}{Z-1} ?

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 16:20

Tant qu'on ne saura pas ce qu'est ce mystérieux ensemble U_n, on en pourra pas faire grand chose.
J'attends ici même que tu me précises sa définition.
P.S. Tu es en train de suivre deux sujets. De mon point de vue, ce n'est pas une bonne idée. Termine l'autre sujet avant de t'attaquer à celui-ci.  Je peux te garantir que tu ne seras pas abandonné en rase campagne : je suis ton sujet

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 17:28

Je m'occupe donc de l'autre sujet et je reviens ici quand il est bien terminé.
Mais on ne me dit rien de plus pour l'ensemble Un dans l'exercice, là est le problème

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 24-02-23 à 17:41

Bien, je serais là.

Citation :
Mais on ne me dit rien de plus pour l'ensemble Un dans l'exercice, là est le problème

Il faut peut-être aller chercher dans ton cours ?
En attendant, termine l'autre sujet.
N'aie crainte, je serai là quand tu reviendras. Évidemment il y a le problème du temps qui est pour toi peut-être limité. Là, je ne domine rien

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 28-02-23 à 16:53

Bonjour,
le temps commence à sérieusement jouer contre moi donc je reviens pour continuer ce sujet !

J'ai regardé dans mon cours et j'ai vu que :

On appelle cercle unité U l'ensemble des nombres complexes de module 1
On appelle racines n-ièmes de l'unité les solutions de l'équation complexe zn = 1

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 28-02-23 à 18:09

Ah ! le temps ! Rien que de très naturel ! Je vois donc :

Citation :
On appelle cercle unité U l'ensemble des nombres complexes de module 1
On appelle racines n-ièmes de l'unité les solutions de l'équation complexe zn = 1

On peut enfin travailler sur de bonnes bases.
Je reviens immédiatement

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 01-03-23 à 01:19

Euh... immédiatement, pas tout à fait : des imprévus.
Voyons la question préliminaire :
Il s'agit de calculer \sum_{k=0}^{n-1}Z_k=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2ik\pi}{n}}\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k
Une somme de termes d'une suite géométrique de raison q=e^{\frac{2i\pi}{n}} où il faut se rappeler que q^n=1
Tu dois tomber sur 0
En sorte que la question 3) n'est qu'un cas particulier où n=5
En 4) tu as beaucoup bataillé. Je me limiterais à vérifier que z+z^4 vérifie l'équation x^2+x-1=0 en calculant :

S=(z+z^4)^2+z+z^4-1=z^2+2z^5+z^8+z+z^4-1

On sait que z^5=1 donc z^8=z^3

et S=1+z+z^2+z^3+z^4=0 avec la question 3)

5) z^4=e^{\frac{8i\pi}{5}}=e^{\frac{8i\pi}{5}-2i\pi}=e^{-\frac{2i\pi}{5}}=\bar{z} (un argument de nombre complexe est défini à 2k\pi près).
6) D'où z+z^4=z+\bar{z}=2\Re(z)=2\,\cos\,\dfrac{2\pi}{5}
Je passe sur 7).
8) Donc z+z^4=2\,\cos\,\dfrac{2\pi}{5} est la solution positive de l'équation x^2+x-1=0 qui donne :
\cos\,\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 01-03-23 à 01:42

Une figure pour la partie B)
Nombres complexes d\'un point de vue géométrique partie 2

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 01-03-23 à 17:48

Bonjour,
Merci énormément pour votre travail,
Pour calculer BC et OD, il suffit de calculer la norme ?

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 01-03-23 à 20:21

BC; c'est simplement Pythagore dans le triangle OCB
Et \overline{OD}=\overline{OB}+\overline{BD}
J'imagine que les mesures algébriques ne te sont pas connues.
Mais tu peux écrire la dernière égalité de la même manière avec des vecteurs.

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 01-03-23 à 22:17

D'accord merci,
Une dernière question, avez-vous mit les affixes sur la figure ?

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 02-03-23 à 00:23

Visiblement ils n'y sont pas.
À toi de les faire figurer.

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 09-03-23 à 17:49

Bonsoir,
Je passe par là pour prendre le temps de vous remercier pour votre aide
Bonne soirée

Posté par
lakere : Nombres complexes d'un point de vue géométrique partie 2 10-03-23 à 01:26

Merci pour ton retour lou1100


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